Passatempo-relâmpago - 21 Jul 09
Clicar na imagem, para a ampliarJÁ QUE TANTO se fala das 'dificuldades' da Justiça e da Matemática, aqui fica um velho problema, que abrange ambas, e que deverá ser resolvido por meios algébricos (com recurso a equações).
O prémio, para o primeiro leitor que der a resposta certa, será um exemplar de «Histórias Eróticas», Ed. Quasi - um extracto do Decâmeron, de Boccaccio, com tradução de Urbano Tavares Rodrigues.
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 10:00
9 Comments:
Bom dia:
Então, pelo que percebi, o problema traduz-se da seguinte forma:
às 14:00h, os dois amigos passaram pelo marco quilométrico AB;
às 15:00h, passaram pelo marco quilométrico BA;
às 16:00h, passaram pelo marco quilométrico A0B;
Assim, considerando que percorreram a mesma distância em cada uma das horas, pois iam a velocidade constante, podemos consideram que em cada hora percorreram uma distância X.
Então:
BA-AB=X
A0B-BA=X
pelo que BA-AB=A0B-BA; 2BA=A0B+AB;
BA=(A0B+AB)/2
Também porque iam a velocidade constante, e porque passaram de marcos quilométricos com 2 algarismos para marcos quilométricos com 3 algarismos, podemos assumir que o algarismo A=1.
Assim, B1=(10B+1B)/2
Agora, trocando B por 5, por exemplo:
51=(105+15)/2=120/2=60 o que está errado e que nos indica que B terá que ser maior que 5 para que a equação dê certo.
Trocando B por 6:
61=(106+16)/2=122/2=61!
Assim, ás 14:00 passaram pelo km 16,ás 15:00 pelo km 61 e ás 16:00 pelo km 106. Então X=106-61 ou =61-16= 45.
Como percorreram 45km em cada uma das horas e iam a velocidade constante, a velocidade a que iam era de 45km/hora, o que me parece dentro do limite, mesmo para localidades!
Dana escreve:
«Agora, trocando B por 5, por exemplo:
51=(105+15)/2=120/2=60 o que está errado e que nos indica que B terá que ser maior que 5 para que a equação dê certo»
O problema pode ser abordado dispensando essa "tentativa".
Também não é preciso concluir que «o 1º algarismo é 1 devido à passagem de 2 algarismos para 3».
--
Pergunto:
Como é que se resolveria o problema dispensando essas duas passagens?
Não massacre mais a mulher que a resposta está correcta!! :)
Sim, Dana vai receber o prémio, mas a resolução algébrica (em termos da chamada Aritmética Racional) dispensa tentativas, pelo que gostava que alguém a apresentasse.
Uma dica! Uma dica!
1ª abordagem (geral)
O 1º número, representado por «ab», vale 10a+b
O 2º número, representado por «ba», vale 10b+a
O 3º número, representado por «a0b», vale 100a+b
Sendo a velocidade uniforme:
(100a+b)-(10b+a)=(10b+a)-(10a+b)
108 a =18 b
b = 6a
Sendo 'a' e 'b' algarismos (que só podem tomar valores entre 0 e 9),
'a' tem de ser < 2
a=1
b=6
etc.
---
2ª abordagem (simplificada):
Considerando, como Dana diz, e com razão, que o algarismo que aparece ao passar de 2 dígitos para 3 deve ser 1:
O 1º número, representado por «ab», vale 10a+b = 10+b
O 2º número, representado por «ba», vale 10b+1
O 3º número, representado por «a0b», vale 100+0+b
Sendo a velocidade uniforme:
(100+b)-(10b+1)=(10b+1)-(10+b)
108=18 b
b = 6
etc.
Temos 3 números, um para cada marco:
xy yx x0y
x deve ser menor que y, pois a distância até ao segundo marco deve ser maior que a distância do
primeiro.
Também podemos afirmar que x=1, dado que a distância entre cada marco é um número com 2 algarismos, e a soma de dois números com 2 algarismos nunca resultaria num valor maior que 198.
Assim, podemos escrever os 3 números da seguinte forma:
10+y 10.y+1 100+y
Chamemos à velocidade z.
Então podemos ter as seguintes equações:
z=(10y+1)-(10+y) e z=(100+y)-(10y+1)
Substituindo o valor de z na segunda equação, temos que:
(10y+1)-(10+y) = (100+y)-(10y+1)
9y-9 = 99-9y
18y=108
y=6
Agora basta colocar esse valor na primeira equação para encontrar o z:
z=(10.6+1)-(10+6)
z=60+1-10-6
z=45
Mg,
Sim, está certíssimo.
Mas, entretanto, aceitei a sua sugestão das 11h01m, pelo que já enviei o livro à Dana...
E fez muito bem...
Enviar um comentário
<< Home