19.6.06

O menino Gauss (*)

É UMA lenda matemática famosa. Conta-se que Carl Friedrich Gauss (1777–1855), um dos matemáticos mais brilhantes de todos os tempos, talvez mesmo o mais brilhante de sempre, quando tinha sete anos deu uma lição ao seu professor.
Um dia, na aula, o mestre-escola entregou aos rapazes um exercício fastidioso: somar todos os números de 1 a 100. Cada um, depois de o fazer, deveria assentar o resultado na pequena ardósia que usava e colocá-la na mesa do professor.

Os rapazes entregaram-se às contas, mas o jovem Gauss, após um brevíssimo momento de concentração, escreveu um número na sua ardósia e colocou-a na mesa. Todos acharam estranho. Mas, quando se foi ver o resultado, Gauss tinha acertado, tendo calculado em fracções de segundo o que outros tinham demorado muito tempo a conseguir.
Segundo uma especulação muito comum, Gauss teria reparado que a soma podia ser rescrita «dobrando a meio» a lista de números e agrupando pares a contar dos extremos. Assim, em vez de somar 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100, teria somado (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... (50 + 51). Como todos pares entre parêntesis têm como soma 101 e como há 50 desses pares, o total é fácil de calcular: 101 x 50 = 5050. Bingo!
É um resultado impecável. Dele se obtém uma fórmula genérica para somar qualquer sequência de números de 1 a n: (n + 1)n/2. No caso do problema de Gauss, essa fórmula dará (1 + 100) x 100/2 = 5050. Se nos perguntarem pela soma dos números de um a um milhão, também poderemos obter imediatamente o resultado. Tal como com dez milhões, ou um milhão de milhões...


Ao que se sabe, esta história do jovem Gauss foi pela primeira vez escrita um ano após a morte do matemático por um seu colega universitário, de nome Wolfgang Sartorius. É provavelmente verdadeira. Mas ganhou uma vida própria e tem sido recontada e reinventada vezes sem conta. As variações são muitas, algumas delas completamente inverosímeis. Brian Hayes, que recentemente fez uma pesquisa bibliográfica muito pormenorizada (American Scientist 94–3), encontrou cerca de 70 versões da história. Algumas delas colocam um chicote nas mãos do mestre-escola, outras fazem os jovens somar números mais elevados. Uma diz que o professor teria dito aos rapazes para adicionarem os números 81297, 81495, ..., 100899, que seriam certamente difíceis de escrever nas pequenas ardósias com que os estudantes trabalhavam.

Sabe-se que o problema colocado a Gauss e a sua solução tinham aparecido já num manuscrito do século VIII, atribuído ao inglês Alcuin de York (735–804), conhecido como o matemático de Carlos Magno. Mas nada disso, nem sequer os exageros ou a possível falsidade da história, lhe retiram o interesse.

Faça o leitor a experiência. Peça a alguém que some os números de um a cem. Rapidamente a sua vítima notará que é difícil somar directamente todas as parcelas e que é mais fácil agrupá-las. Agrupando-as às dezenas, é natural detectar alguma regularidade. Peça-lhe depois para «dobrar» a sequência de números, como fizemos atrás. Ou então para escrever um triângulo de pontinhos, um em cima, dois debaixo, depois três, e assim por diante. Não é preciso ir até 100, basta chegar a 10 para perceber o problema. A soma do número de pontinhos de um triângulo com 10 linhas é metade da soma de um rectângulo de pontos, com 10 linhas e 11 colunas. Quanto tempo demorará o seu parceiro a descobrir um processo expedito de fazer a soma? E que caminho lhe parece que Gauss terá seguido para descobrir o resultado?

(*) Adaptado do «Expresso»

1 Comments:

Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Curiosidade:

Quando se diz que se soma o 1º termo com o último; o 2º com o penúltimo, etc (obtendo-se n/2 pares de números iguais), está-se a dar um exemplo em que há um nº par de números a somar.

No entanto, quando o nº de elementos a somar é ímpar, "sobra" o do meio - o que torna mais curioso o facto de a expressão da soma ainda ser válida.

Tudo se passa como se partíssemos o do meio em dois outros com metade do valor.

19 de junho de 2006 às 20:00  

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