Kurt Gödel

TALVEZ seja o teorema mais incompreendido da história. Há livros inteiros dedicados a explicá-lo, mas as especulações infundadas abundam. Há quem diga que foi a descoberta que fez entrar a matemática no mundo pós-moderno e quem afirme que se trata de um resultado que mostra que jamais se podem obter certezas. As confusões são tantas que Alan Sokal e Jean Bricmont, no seu «Imposturas Intelectuais» (Gradiva 1999), afirmam que constitui uma «fonte inesgotável de abusos» e citaram casos de conhecidos políticos e filósofos que fazem interpretações despropositadas desse célebre resultado. É um teorema difícil e importante. Incide sobre os próprios fundamentos da matemática.

O seu criador foi um matemático e lógico de origem alemã. Chamava-se Kurt Gödel e nasceu em 28 de Abril de 1906, fez agora 100 anos. Veio ao mundo na cidade de Brno, que na altura era parte do império austrohúngaro e hoje pertence à República Checa. Viveu e estudou em Viena, onde obteve os seus resultados mais revolucionários. Na altura da Guerra refugiou-se nos Estados Unidos. Naturalizou-se norte-americano e viveu até ao fim dos seus dias em Princeton, onde convivia quase diariamente com Albert Einstein. Já idoso, o grande físico dizia que, por vezes, apenas se dava ao trabalho de se deslocar ao seu escritório, no Instituto de Estudos Avançados, para ter o privilégio de caminhar de volta para casa conversando com Gödel.

Gödel com Einstein

O leitor de língua portuguesa tem a sua disposição algumas obras onde se explicam correctamente os resultados de Kurt Gödel, e outras onde se exploram as suas consequências. Há o longo e belo «Gödel, Escher, Bach: Laços Eternos», de Douglas Hofstadter, «A Mente Virtual», de Roger Penrose, e «Conversas com Um Matemático», de Gregory Chaitin. Mais recentemente, surgiram em língua inglesa algumas obras ainda não traduzidas para português, nomeadamente «Incompleteness» de Rebbeca Goldstein (W.W. Norton, 2005) e «Gödel’s Theorem» de Torkel Franzén (A.K. Peters, 2005). Este último, em particular, é interessante por destrinçar a verdade da fantasia na interpretação do Teorema de Gödel.

O momento decisivo teve lugar em 1930. Ou, pelo menos, foi revelado nessa data. O jovem Kurt Gödel, então com 24 anos, apresentou calmamente e de forma discreta numa conferência em Königsberg, actual Kalininegrado, alguns resultados a que tinha chegado no decurso da sua investigação de doutoramento. O primeiro resultado, incluído na sua comunicação, mostrava que a chamada lógica de primeira ordem, ou cálculo de predicados, é completa, ou seja, que os axiomas e regras de inferência dessa lógica formal permitem provar todas as proposições verdadeiras dentro do sistema. À primeira vista, não se tratava de nada de surpreendente, embora fosse um resultado muito difícil. Mas foi no último dia da discussão que Gödel deixou escapar a bomba que trazia preparada e que constitui o seu célebre primeiro teorema da incompletude (habitualmente consideram-se dois teoremas). Revelou ser possível encontrar proposições matemáticas verdadeiras que não eram demonstráveis no sistema formal da matemática. Dito de outra forma, mostrou ser impossível construir um sistema de pressupostos a partir do qual todas as verdades matemáticas seriam construídas. Não é a matemática que é incompleta nem as verdades matemáticas deixam de ser verdades. O que se revela impossível é capturar toda a matemática num conjunto fechado de axiomas e regras.

Passaram 100 anos sobre o nascimento de Kurt Gödel. A data terá passado despercebida a muitos. Mas poucos centenários haverá com a importância deste.

Adaptado do «Expresso»