Faces, arestas e vértices

LEONARD EULER (1707–1783), cujo tricentenário se registou no passado domingo, foi o matemático mais produtivo da história. Deixou a sua marca em toda a matemática do século XVIII. E descobriu coisas aparentemente simples. Simples, mas que ninguém ainda tinha notado.

Para dar um exemplo, uma das descobertas de Euler é o seu teorema que afirma que o número de faces e vértices de um poliedro excede o de arestas em 2. Escrevendo simbolicamente:

V-A+F=2.

Se o leitor pensar num cubo, por exemplo, verificará que este tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. É fácil fazer as contas: 8-12+6=2. Pegue agora num tetraedro (4-6+4=2) ou num octaedro (6-12+8=2). Pegue também numa bola de futebol e repare que ela pode ser vista como um poliedro deformado, com hexágonos e pentágonos como faces. Neste caso, encontram-se 60 vértices, 90 arestas e 32 faces, o que mais uma vez cumpre a relação de Euler.

A equação V-A+F=2 verifica-se para todos os poliedros convexos, ou seja, para todos aqueles que não têm reentrâncias. Poliedros convexos são aqueles em que habitualmente se pensa. São a intersecção de semi-espaços delimitados com planos. Difícil de entender? Pois imagine-se um bloco de madeira que se corta várias vezes com uma serra, sempre de um lado ao outro e sempre a direito até ficar delimitado por faces bem lisas, todas cortadas pela serra. O que resulta é um modelo de poliedro convexo. São objectos geométricos conhecidos e estudados há milhares de anos.

É surpreendente que fosse preciso esperar por Euler para descobrir um facto aparentemente tão simples como este seu teorema. A genialidade, por vezes, revela-se na descoberta de coisas simples.
Adaptado do «Expresso»