Uma curiosidade probabilística
SABIAM que, se estiverem reunidas 20 pessoas, a probabilidade de duas delas terem nascido no mesmo dia é de cerca de 50%?Como é isso possível?!
(Texto integral em «Comentário-1»)
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 19:46
4 Comments:
UMA CURIOSIDADE PROBABILÍSTICA (*)
ALGUÉM me disse que, se estiverem reunidas cerca de 20 pessoas, a probabilidade de duas delas terem nascido no mesmo dia é de 50%.
Como é possível?
Este fenómeno tem realmente um nome - é o chamado paradoxo do aniversário - e tem utilidade em diversas áreas (p.ex., criptografia e algoritmos de hashing).
Pode experimentá-lo - a próxima vez que estiver reunido com um grupo de 20 a30 pessoas, peergunte a todos a data do nascimento.
É bastante provável que duas pessoas no grupo tenham nascido no mesmo dia do ano.
Surpreende sempre todos!
A razão por que isto acontece é que estamos habituados a comparar o nosso próprio dia de aniversário com o dos outros.
Por exemplo, se perguntar a uma pessoa qualquer o seu aniversário, a possibilidade de os dois terem nascido nomesmo dia é somente de 1/365 (0,27%). Ou seja, a probabilidade de dois indivíduos terem o mesmo dia de aniversário é extremamente baixa.
Mesmo se perguntar a 20 pessoas, a probabilidade é ainda baixa - menos de 5%.
Assim, pensamos que é muito raro encontrar alguém com o mesmo dia de aniversário.
Se reunirmos cerca de 20 pessoas, entretanto, o que muda é o facto de que cada uma das 20 pessoas faz a mesma pergunta a cada uma das outras 19. Cada indivíduo tem uma pequena possibilidade (menos de 5%) de sucesso, mas cada pessoa tenta 19 vezes. O que aumenta dramaticamente a probabilidade.
Se quisermos calcular a probabilidade exacta, uma forma de olharmos para o problema é a seguinte:
Suponhamos que temos um calendário grande de parede com todos os 365 dias do ano.Você marca com um X o seu dia de aniversário. A pessoa seguinte fica com 364 dias disponíveis, assim, a probabilidade das duas datas não coincidirem é de364/365.
A terceira pessoa tem só 363 dias possíveis, e a probabilidade denão coincidirem é de 363/365, e por aí adiante. Se multiplicarmos estas probabilidades para todas as 20 pessoas, então fica:
364/365 * 363/365 * ...* (365-20+1)/365 = probabilidade de nenhuma coincidência de datas, logo aprobabilidade de haver concidências é de 1 menos esse número.
Com um grupo de 23 pessoas obtemos uma probabilidade muito próxima de 50%.
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(*) Env. por Luis Correia
Considerando os anos comuns, de 365 dias:
Num grupo de 22 pessoas, a probabilidade de haver pelo menos duas com a mesma data de nascimento é de 0,4757.
Com 23 pessoas é de 0,5073.
Jorge Oliveira
Seria interessante apresentar a expressão matemática que demonstrasse que, num grupo de mais de 365 pessoas a probabilidade é (evidentemente) 100%.
Deve ser possível obter uma expressão simplificada.
Alguém sabe?
Com 366 pessoas (o que garante que haja pelo menos duas que fazem anos na mesma data), a última parcela é:
(365-366+1)/365=0
Sendo a probabilidade=1-0=1 (ou seja, 100%).
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