Pergunta de algibeira
Alguém quer explicar porque é que se usa a prova-dos-nove?Ou melhor: qual é a vantagem que tem o nove sobre os outros números - que faz com que não se use, p. ex., uma prova-dos-sete?
Etiquetas: Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 18:11
14 Comments:
Prova dos 9 se opera na base 10.
Prova dos 7 se opera na base 8.
Exemplo:
Base 10: 32+93=125 (prova dos 9: 8; 8)
Base 8:
32 da base 10 é 40 na base 8.
93 base 10 é 135 na base 8.
Soma de 40 +135=175 (prova dos 7: 6;6)
E na base 5 teria a prova dos 4... etc.
Certo, mas a pergunta que coloquei refere-se a uma situação mais corriqueira (na velhinha "base 10"):
Quando se verifica uma conta, pode usar-se a chamada "prova dos nove", uma operação simples que está associada a outra coisa:
A propriedade dos "noves-fora".
Em ambos os casos, o número em causa é 9 e não outro, devido a uma propriedade especial que o 9 tem.
A pergunta é: "Qual?"
--
Ou ainda:
Sendo o "noves-fora" o resto da divisão de um número por 9, porque é que esse "resto" é a soma dos algarismos (ou a soma dos algarismos do resultado da 1ª operação de noves-fora, no caso em que é >9)?
32=>novesfora=3+2=5
74=>novesfora=7+4=11=>novesfora=1+1=2
A resposta, de certa forma, já está dada, e bem ilustrada, pelo anónimo das 8h36.
O que o nove tem de especial é que
9+1 = 10,
é o último algarismo da base 10.
Se escrevermos as dezenas como 9+1, as centenas como 99+1, os milhares como 999+1, e por aí fora (todos múltiplos de 9 mais um), vemos que a soma dos algarismos de um número é igual ao número inicial mais um múltiplo de 9. Basta repetir até obter um número não divisível por 9 (ou zero) e isso será o resto da divisão por 9.
Para 74: 74 = 7x10 + 4
= 7x9 + 11 = 8x9 + 2
Em base 8, era preciso usar setesfora.
Um número e a soma dos seus dígitos dão o mesmo resto quando divididos por 9. Assim, pode repetir-se a opração de determinação da soma dos dígitos até obter um número de 0 a 8.
EX: 784 , 7+8+4=19 , 1+9=10 , 1
o resto da divisão de 784 por 9 é 1.
Certíssimo!
A questão seguinte, seria explicar porque é que a "prova dos nove" funciona.
Para a SOMA e a SUBTRACÇÃO, é quase evidente:
O "noves-fora" das parcelas (seja qual for a ordem pela qual ela se aplique aos algarismos que as constituem) dá o mesmo resultado que o "noves-fora" do resultado.
No entanto, para a multiplicação e para a divisão, o funcionamento da "prova dos nove" já não é tão evidente.
Vou usar "(x)mod 9" para representar o resto da divisão de x por 9.
Já está dito que para qualquer número com os dígitos a,b,c temos, na base 10:
(abc)mod 9 = x
(a+b+c)mod 9 = x
( resto igual)
Calculemos 594+789 por colunas.
Para a posição das unidades temos 13, para a das dezenas temos 17 e para as centenas temos 13 ou seja temos, em linha, "12 17 13".
A soma dos dígitos das parcelas e desta linha é, naturalmente, a mesma (42). Temos 42 mod 9 = 6.
Mas, na base 10, nas posições das unidades, dezenas, etc não há dígito superior a 9.
Retomando a linha "12 17 13" teremos que deixar (13-10)=3 nas unidades e levar 1 dezena para a segunda posição onde ficará 17+1=18.
Nas unidades tínhamos 13 (soma dos dígitos é 4 que é 13-9...).
Se levo o dígito 1 para a posição adjacente da linha da soma, não altero a soma dos dígitos (fica agora 1 nas dezenas + 3 nas unidades) e o resto da divisão por nove permanece...
Sim, mas para a multiplicação e para a divisão, a explicação é mais difícil.
Na multiplicação usa-se uma cruz:
Em cima, à esquerda, mete-se o noves-fora do multiplicando;
em baixo, à esquerda, mete-se o noves-fora do multiplicador;
Em cima, à direita, mete-se o noves-fora do produto dos dois anteriores.
Em baixo, à direita, mete-se o noves-fora do resultado, que deverá ser igual ao número que está por cima.
Porquê?
_
E para a divisão? Alguém se lembra como se faz e porquê?
Multiplicação de "a" com "b".
a /9 = q1 + r1
b /9 = q2 + r2
nota: q1 e q2 são pois múltiplos de 9.
ab = 81q1q2+9q1r2+9q2r1+r1r2
ab = 9(q1q2+q1r2+q2r1)+ r1r2
ab = 9(Q)+r1r2
Assim concluo que "ab" e "r1r2" divididos por 9 têm o mesmo resto pelo que uso "r1r2" em vez de "ab".
Numa "cruz":
quadrante superior esquerdo é r1 (soma dos dígitos de "a" noves fora)
quadrante inferior esquerdo é r2 (soma dos dígitos de "b" noves fora)
quadrante superior direito é o produto "r1r2" noves fora
quadrante inferior direito é o produto "ab" noves fora.
Divisão:
789/19 = 41 com resto 10
quadrante superior esquerdo = 1 (resto da divisão de 19 por 9)
quadrante inferior esquerdo = 5 (resto da divisão de 41 por 9)
quadrante superior direito= 6(resto da divisão de 15 por 9).Este 15 é o produto dos dígitos da metade esquerda da cruz (1 *5) somado ao resto 10.
quadrante inferior direito = 6(resto da divisão de 789 por 9)
O Comentário do anónimo das 2h16m está certo, mas como exemplo.
Um exemplo serve para se perceber melhor (ou, neste caso, relembrar) mas não é uma demonstração.
A demonstração (de "porque é que é SEMPRE assim") tem de ser feita de forma semelhante ao que, para a multiplicação, fez o anónimo das 2h00m.
Mas também é verdade que se está muito perto.
IRRA! Que até fiquei com dor-de-cabeça!! Mas quantas vezes tenho de pedir que coloquem questões mais fáceis, tipo loiras???
Bem, aqui vai uma resposta, só para participar: PORQUE SIM, PORQUE FOI ASSIM QUE A MINHA PROFESSORA DA PRIMÁRIA ME ENSINOU.
Aqui vai outra resposta do género da anterior: a «prova dos nove» recebe este nome pois, na altura de fazer as somas para a verificação, os algarismos «nove» podem ser ignorados.
"Demonstração"
Usando o facto que "noves fora" dá o resto da divisão por nove.
a = 9 q1 + r1 (resto r1)
b = 9 q2 + r2
a = Q b + R (a/b tem resto R)
e para o resultado da divisão a/b,
Q = 9 q3 + r3
Temos então,
9 q1 + r1 = (9 q3 + r3)(9 q2 + r2) + R
e descartando todos os múltiplos de 9 evidentes,
r1 = r3 r2 + R
claro que o termo da direita pode ter múltiplos de 9, por isso para comparar a r1 temos que obter o seu resto (ou "noves fora").
Portanto:
r2| r2 r3 + R noves fora
-------------
r3| r1
e os dois da direita têm que ser iguais.
Que maravilha!
Até dá gosto ter comentários assim!
Enviar um comentário
<< Home