Passatempo com prémio
COMO JÁ SUCEDEU com um problema semelhante (que, nos tempos em que foi concebido, estava ao alcance de adolescentes medianamente escolarizados), o prémio, a entregar ao primeiro leitor que o resolver, será um livro de literatura juvenil.Mas atenção a um pormenor: embora a resolução matemática - que se exige - conduza a mais do que um resultado, apenas um é válido. Será preciso, naturalmente, explicar qual é o correcto - e porquê.
Actualização 1: a resposta certa foi dada por Mr. Shankly.
Actualização 2: um leitor coloca a seguinte questão - que bem poderá dar origem a um prémio suplementar: «Por que razão a soma das duas soluções matematicamente possíveis é 100, e teria de ser 100, qualquer que fosse o preço do quilo?»
Actualização 3: a resposta adicional voltou a ser dada por Mr. Shankly. Os livros-prémio, que entretanto escolheu, já lhe foram enviados.
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 10:25
9 Comments:
Este comentário foi removido pelo autor.
Ora bem:
Sendo x os quilos adquiridos, os mesmos obtêm-se a partir da seguinte fórmula:
x*360*(1-0,01x)=2724,975
Desenvolvendo, vem:
-3,6x^2+360x-2724,975=0
E aplicando a fórmula resolvente para equações de 2º grau:
x=91,75kg ou x=8,25 kg
Ora, sabendo-se que a partir de 10 kg as condições mudam, a única resposta válida é a 2ª, ou seja, 8,25 kg.
Mr. Shankly
CERTO!!
Nem me deu tempo para afixar as imagens dos livros...
--
Escreva então para sorumbatico@iol.pt indicando morada e qual dos seguintes livros prefere:
«Se Pudesses Ver a tua Cara!» ( Majora)
«O Juramento do Corsário Negro» (Emílio Salgari)
«As Fórmulas de Zoltan» (J. Cap)
«João e o Enigma da Pedra de Ouro» (idem)
«Três Vivas aos Sete» (Enid Blyton)
«A Casa do Saltimbanco» (M. de Stolz)
«O Caso do Cão Invisível» (E. W. Hildick)
«Os Seis e a Noiva de Kafi» (P.J. Bonzon)
«Os Seis à Margem da Lei» (idem)
«Aqui Ninguém Mexe» (C. Neels)
«Pânico no Ribeiro» (S. Baffert)
«Destino Pesadelo» (E. Souppart)
«Os super-4 - Poço dos Espíritos» (AAPinho+PFBranco)
«Refém de si Próprio» (L. Chabin)
«O Burocrata...» (Álvaro Gomes)
E ainda (acabados de chegar):
«A Fronteira de Areia» (C. Clément)
«Silêncio, Por Favor» (L. Sanders)
«O Fado de José» (C. Crétois)
«A Guerra de Éliane» (P. Barbeau)
Cá vamos nós outra vez...
Demonstrando:
Sendo:
- x o número de quilos adquiridos
- y o preço por quilo
- z o valor total pago
temos que a equação passa a ser:
x*y*(1-0,01x)=z
Desenvolvendo:
-0,01x^2y+xy-z=0
Resolvendo em ordem a x:
x=-y+((raiz quadrada de)(y^2-4*0,01yz))/-0,02y
ou
x=-y-((raiz quadrada de)(y^2-4*0,01yz))/-0,02y
Para termos a soma de ambas as soluções, vem:
-y+((raiz quadrada de)(y^2-4*0,01yz))/-0,02y -y-((raiz quadrada de)(y^2-4*0,01yz))/-0,02y
ou seja-2y/0,02y + ((raiz quadrada de)(y^2-4*0,01yz))/-0,02y -((raiz quadrada de)(y^2-4*0,01yz))/-0,02y
Cortando os dois últimos membros, fica 100 (de -2y/0,02y)
A demonstração fica feita (espero não me ter enganado em nenhum sinal, o cálculo está obviamente correcto). A razão porque acontece já não sei...
Aliás:
"Cortando os dois últimos membros, fica 100 (de -2y/-0,02y)"
Assim é que é.
Certo! Indique, então, mais um livro, enquanto preparo duas demonstrações porventura mais simples.
Demonstração sugerida po Jorge Oliveira (que foi quem colocou a questão):
--
Na equação de partida:
p.x.(100-x)/100 = V
p - preço do quilo
x - nº de quilos adquiridos.
V - valor da compra
se substituir (x) por (100-x) a equação conserva a forma.
Apenas um outro aspecto da solução já dada por Shankly:
Retomemos o cálculo feito no ponto
-0,01x^2y+xy-z=0
Para passar à forma canónica, invertamos os sinais e ordenemos a equação em ordem a "x". Já agora, multipliquemos os termos por 100:
y.x^2-100yx+100z=0
Para facilitar, seja, na fórmula resolvente,
R=raiz de(...)
A soma das duas soluções é:
[1/(2y)].[(100y+R)+(100y-R)]=
=[1/(2y)].200y=
=100
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NOTA: A resolução da equação do 2.º grau ainda tem uma versão mais simples dado que o coeficiente do termo do 1.º grau é par. Mas deixemos agora isso.
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