30.3.08

Problema com prémio

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Desta vez, o critério para atribuição do prémio (*) não será "ao primeiro leitor que der a resposta certa", mas sim ao que, até às 20h da próxima quarta-feira, dia 2 de Abril, "responder de forma mais correcta", em termos matemáticos (incluindo o resultado certo, obviamente...).
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Para maior facilidade na comparação das respostas, sugere-se o uso das letras indicadas no gráfico e ainda as seguintes:
a ... a velocidade do carro de Andrade
b ... a velocidade do carro de Barros
c ... a velocidade do carro de Cardoso
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(*) O prémio será um exemplar do CD que em cima se vê. Não me perguntem se é bom ou não, porque não sei - ainda está no envelope selado, e será enviado assim.
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Actualização (2 Abr 08 / 9h10m): ver o que se propõe no comentário-6
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Actualização (2 Abr 08 / 20h45m): depois de muito matutar, foi resolvido atribuir um exemplar do CD a cada um dos dois esforçados amigos - Pascoal e Luís Bonito. Pede-se-lhes, pois, que escrevam para sorumbatico@iol.pt, indicando morada para envio.

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8 Comments:

Blogger Pascoal said...

a…. velocidade do carro de Andrade (Km por minuto)
b….velocidade do carro de Barros (Km por minuto)
c….velocidade do carro de Cardoso (Km por minuto)

k… distância inicial de Andrade a Barros
2k… distância inicial de Barros a Cardoso

n…. minutos até Barros passar adiante de Cardoso

Podemos escrever o sistema:
7a -7b = k
12a – 12 c = 3k
nb –nc = 2k

Multiplicando a 1ª equação por -12/7 e somando à 2ª equação fica:
12b -12c= (-12/7+3)k……. b-c = (-12/7+3)k/12

A 3ª equação é equivalente a: b-c = 2k/n

Igualando fica: (-12/7+3)k/12=2k/n ………(-12/7+3)/12=2/n
n= 18,(6) minutos

Barros passa adiante de Cardoso ao fim de 18,(6) minutos,
ou seja 6,(6) minutos depois de Andrade.

30 de março de 2008 às 23:29  
Blogger Luis Bonito said...

Resolução pelas rectas do gráfico:

Azul (Andrade) y =19/7.x
Amarela (Barros) y = 9/7.x + 10
Roxa (Cardoso) , ponto onde as rectas azul e roxa se intersectam (só conhecemos x =12)
y = m.x + 30 ^ y = 19/7 . x , para x = 12 temos declive da recta roxa, m=3/14
logo recta roxa y = 3/14. x + 30

Coordenadas do ponto Z final são dadas por sistema
y=3/14.x + 30 ^ y = 9/7.x +10,
resolvendo x = 18,(6) minutos ou seja Barros ultrapassa Cardoso 6.(6) minutos (18.(6)- 12) depois de ultrapassar Andrade.

31 de março de 2008 às 10:05  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Em princípio, a ideia é não comentar as respostas antes do fim do prazo.
No entanto, aqui fica uma pergunta, motivada pela resposta de Luis Bonito, que é extensiva a todos:

Então e se eu tivesse desenhado o gráfico de forma que as rectas A e B se intersectassem um pouco mais abaixo, num ponto em que y=17,5, para os mesmos 7 minutos (e mantendo o encontro de A e C nos mesmos 12 minutos?

31 de março de 2008 às 12:47  
Blogger Luis Bonito said...

Percebi que li mal o gráfico e aqui vai a solução.
A abordagem é identica, trato o gráfico das velocidades considerando as velocidades constantes
E = Vt + e (inicial)

Ponto X:
Espaço percorrido por A = 7.Va
Espaço percorrido por B = 7.Vb + D

De onde, Va = Vb + D/7

Ponto Y:
Espaço percorrido por A = 12.Va
Espaço percorrido por B = 12.Vc + 3D

De onde, Va = Vc + D/4

Igualando as expressões de Va, Vb = Vc + D/4- D/7
Temos Vb = Vc + 3/28 D

Ponto Z:
Espaço percorrido por B = Vb.t + D
Espaço percorrido por C = Vb.t + 3D

Igualando as expressões e substituindo o valor de Vb, temos
(Vc + 3/28 D) . t + D = Vc.t + 3D
resolvendo, Vc.t +3/28 D.t + D = Vc.t + 3D

eliminando (cortando) Vc.t dos 2 lados,
3/28 D.t = 2D ( a solução é independente de D) e
t = 2. 28/3 = 18(6) minutos ou seja Barros ultrapassa Cardoso 6.(6) minutos (18.(6)- 12) depois de ultrapassar Andrade.

31 de março de 2008 às 17:36  
Blogger Luis Bonito said...

Corrijo a ultima linha t=18.(6) minutos

31 de março de 2008 às 17:38  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Para ver se "isto" anima um pouco, aqui fica um desafio acrescido:

Supor que as distâncias iniciais eram ainda D e 3D, mas que os tempos passavam a ser TAB=6 e TAC=18.

2 de abril de 2008 às 09:10  
Blogger Luis Bonito said...

Em relação ao último desafio, de 02 de Abril:

Pelos dados as rectas das do gráfico das velocidades de B e C terão o mesmo declive e serão paralelas.

Confirma-se por:
E = Vt + e (espaço inicial)

Ponto X:
Espaço percorrido por A = 6.Va
Espaço percorrido por B = 6.Vb + D

De onde, Va = Vb + D/6

Ponto Y:
Espaço percorrido por A = 18.Va
Espaço percorrido por B = 18.Vc + 3D

De onde, Va = Vc + D/6

Igualando as expressões de Va, Vb + D/6= Vc + D/6
Temos Vb = Vc ,
ou seja o declive é igual e as rectas são paralelas.
Assim o carro B nunca alcança o carro C.

2 de abril de 2008 às 10:06  
Blogger Pascoal said...

Utilizando o mesmo tipo de resolução do 1º comentário, o sistema ficava agora:

6a -6b = k
18a – 18 c = 3k
nb –nc = 2k

Multiplicando a 1ª equação por -3 e somando à 2ª equação fica:
18b -18c= 0......b-c=0

A 3ª equação é equivalente a: b-c = 2k/n

Logo, fica: 0=2k/n

A equação é impossível (em ordem a n e considrando k>0)e Barros não ultrapassa Cardoso.

2 de abril de 2008 às 18:22  

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