Problema com prémio
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Desta vez, o critério para atribuição do prémio (*) não será "ao primeiro leitor que der a resposta certa", mas sim ao que, até às 20h da próxima quarta-feira, dia 2 de Abril, "responder de forma mais correcta", em termos matemáticos (incluindo o resultado certo, obviamente...).
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Para maior facilidade na comparação das respostas, sugere-se o uso das letras indicadas no gráfico e ainda as seguintes:
a ... a velocidade do carro de Andrade
b ... a velocidade do carro de Barros
c ... a velocidade do carro de Cardoso
b ... a velocidade do carro de Barros
c ... a velocidade do carro de Cardoso
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(*) O prémio será um exemplar do CD que em cima se vê. Não me perguntem se é bom ou não, porque não sei - ainda está no envelope selado, e será enviado assim.
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Actualização (2 Abr 08 / 9h10m): ver o que se propõe no comentário-6
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Actualização (2 Abr 08 / 20h45m): depois de muito matutar, foi resolvido atribuir um exemplar do CD a cada um dos dois esforçados amigos - Pascoal e Luís Bonito. Pede-se-lhes, pois, que escrevam para sorumbatico@iol.pt, indicando morada para envio.
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 15:24
8 Comments:
a…. velocidade do carro de Andrade (Km por minuto)
b….velocidade do carro de Barros (Km por minuto)
c….velocidade do carro de Cardoso (Km por minuto)
k… distância inicial de Andrade a Barros
2k… distância inicial de Barros a Cardoso
n…. minutos até Barros passar adiante de Cardoso
Podemos escrever o sistema:
7a -7b = k
12a – 12 c = 3k
nb –nc = 2k
Multiplicando a 1ª equação por -12/7 e somando à 2ª equação fica:
12b -12c= (-12/7+3)k……. b-c = (-12/7+3)k/12
A 3ª equação é equivalente a: b-c = 2k/n
Igualando fica: (-12/7+3)k/12=2k/n ………(-12/7+3)/12=2/n
n= 18,(6) minutos
Barros passa adiante de Cardoso ao fim de 18,(6) minutos,
ou seja 6,(6) minutos depois de Andrade.
Resolução pelas rectas do gráfico:
Azul (Andrade) y =19/7.x
Amarela (Barros) y = 9/7.x + 10
Roxa (Cardoso) , ponto onde as rectas azul e roxa se intersectam (só conhecemos x =12)
y = m.x + 30 ^ y = 19/7 . x , para x = 12 temos declive da recta roxa, m=3/14
logo recta roxa y = 3/14. x + 30
Coordenadas do ponto Z final são dadas por sistema
y=3/14.x + 30 ^ y = 9/7.x +10,
resolvendo x = 18,(6) minutos ou seja Barros ultrapassa Cardoso 6.(6) minutos (18.(6)- 12) depois de ultrapassar Andrade.
Em princípio, a ideia é não comentar as respostas antes do fim do prazo.
No entanto, aqui fica uma pergunta, motivada pela resposta de Luis Bonito, que é extensiva a todos:
Então e se eu tivesse desenhado o gráfico de forma que as rectas A e B se intersectassem um pouco mais abaixo, num ponto em que y=17,5, para os mesmos 7 minutos (e mantendo o encontro de A e C nos mesmos 12 minutos?
Percebi que li mal o gráfico e aqui vai a solução.
A abordagem é identica, trato o gráfico das velocidades considerando as velocidades constantes
E = Vt + e (inicial)
Ponto X:
Espaço percorrido por A = 7.Va
Espaço percorrido por B = 7.Vb + D
De onde, Va = Vb + D/7
Ponto Y:
Espaço percorrido por A = 12.Va
Espaço percorrido por B = 12.Vc + 3D
De onde, Va = Vc + D/4
Igualando as expressões de Va, Vb = Vc + D/4- D/7
Temos Vb = Vc + 3/28 D
Ponto Z:
Espaço percorrido por B = Vb.t + D
Espaço percorrido por C = Vb.t + 3D
Igualando as expressões e substituindo o valor de Vb, temos
(Vc + 3/28 D) . t + D = Vc.t + 3D
resolvendo, Vc.t +3/28 D.t + D = Vc.t + 3D
eliminando (cortando) Vc.t dos 2 lados,
3/28 D.t = 2D ( a solução é independente de D) e
t = 2. 28/3 = 18(6) minutos ou seja Barros ultrapassa Cardoso 6.(6) minutos (18.(6)- 12) depois de ultrapassar Andrade.
Corrijo a ultima linha t=18.(6) minutos
Para ver se "isto" anima um pouco, aqui fica um desafio acrescido:
Supor que as distâncias iniciais eram ainda D e 3D, mas que os tempos passavam a ser TAB=6 e TAC=18.
Em relação ao último desafio, de 02 de Abril:
Pelos dados as rectas das do gráfico das velocidades de B e C terão o mesmo declive e serão paralelas.
Confirma-se por:
E = Vt + e (espaço inicial)
Ponto X:
Espaço percorrido por A = 6.Va
Espaço percorrido por B = 6.Vb + D
De onde, Va = Vb + D/6
Ponto Y:
Espaço percorrido por A = 18.Va
Espaço percorrido por B = 18.Vc + 3D
De onde, Va = Vc + D/6
Igualando as expressões de Va, Vb + D/6= Vc + D/6
Temos Vb = Vc ,
ou seja o declive é igual e as rectas são paralelas.
Assim o carro B nunca alcança o carro C.
Utilizando o mesmo tipo de resolução do 1º comentário, o sistema ficava agora:
6a -6b = k
18a – 18 c = 3k
nb –nc = 2k
Multiplicando a 1ª equação por -3 e somando à 2ª equação fica:
18b -18c= 0......b-c=0
A 3ª equação é equivalente a: b-c = 2k/n
Logo, fica: 0=2k/n
A equação é impossível (em ordem a n e considrando k>0)e Barros não ultrapassa Cardoso.
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