Passatempo com prémio
O VELHO problema que aqui hoje se propõe pode ser abordado de várias maneiras. No entanto, e como oportunamente se verá, o seu criador pretendia que fosse resolvido com recurso a duas equações a duas incógnitas, sendo uma delas obtida pelo Teorema de Pitágoras e a outra com recurso às proporções entre os lados de triângulos semelhantes. Assim sendo, desafia-se os leitores a apresentarem uma solução que satisfaça esse requisito.
NOTA: sugere-se que se usem as designações indicadas [neste] desenho.
Dado que se trata de saber a altura de uma casa, o prémio será um exemplar do livro «Casas Mortas», de Miguel Otero Silva.
NOTA: sugere-se que se usem as designações indicadas [neste] desenho.
Dado que se trata de saber a altura de uma casa, o prémio será um exemplar do livro «Casas Mortas», de Miguel Otero Silva.
Actualização-1 (20h15m): o passatempo foi ganho por Carlos Antunes que, além de ter dado a resposta certa, respeitou a abordagem exigida. A solução apresentada pelo autor do problema pode ser vista [aqui], juntamente com uma pergunta adicional: «Que outra resposta é que, pelo menos teoricamente, o problema admite?». E, já agora (a propósito da cor da casa), quem foi que disse «Se todos os gostos fossem iguais, o que seria do amarelo?»? Actualização-2 (20h39h): As respostas certas às duas questões suplementares foram dadas por Luís Bonito e Sofia.
Actualização-3: o desenho 'à escala' pode ser visto [aqui].
Actualização-3: o desenho 'à escala' pode ser visto [aqui].
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 18:09
27 Comments:
Hmm... será 8,94 metros?
A resposta está errada.
Mas, mesmo que estivesse correcta, teria de apresentar a respectiva justificação algébrica, como se pede (Teorema de Pitágoras + proporções entre os lados de triângulos semelhantes).
Acabei de meter um link para um desenho, que ajuda a perceber o que se pretende.
10.79 m
MG,
A resposta é a mesma que atrás dei.
A altura do edificio é +- 10,33m.
Então começo por saber o angulo que faz a escada com o solo, 54.74º
e a partir dai, sen54.74= (x/12.65)
para determinar o angulo, foi a partir da semelhança de triangulos.
Caso a resposta esteja correcta, envio o meu raciocinio (digitalizo).
Um abraço
8,19m.
Tal como o Miguel, se estiver correcto posso enviar a resposta por mail, já que é um pouco complicado estar a colocá-la aqui...
x= 12 metros
y = 4 metros
Caso esteja correcto, enviarei a minha justificação.
Caro Miguel,
Pede-se que a resposta seja dada sem recurso a trigonometria - nada de senos!
Tal como se diz no enunciado, pede-se que seja resolvido com recurso a duas equações a duas incógnitas, sendo uma delas obtida pelo Teorema de Pitágoras e a outra com recurso às proporções entre os lados de triângulos semelhantes.
---
Adianto que A RESPOSTA CERTA (pelo menos no que toca aos valores numéricos) acaba de ser DADA POR RAQUEL MARQUES.
Aguardo a sua demonstração.
Agora quero-te ver a tua justificaç
ao Raquel...eu nao te ajudo :P
Eu diria mais 11.13m
mas está mal :(
Eu diria mais 11.13m
mas está mal :(
Miguel,
Quando diz, no início da 1ª resposta:
«começo por saber o angulo que faz a escada com o solo, 54.74º»,
pergunto eu: de que dados dispõe para saber qual é esse ângulo?
Equações:
12,65^2=x^2+y^2
e
3/(x-3)=y/x
Daqui resulta que x=12 metros (aproximadamente) e y=4 metros
Um abraço!
Oh Sr Carlos, eu já não sei nada...isso foi com uma tg x= 4.24/3
o 4.24 é a distancia desde o inicio da escada ate a intersecç
ao com a travessa.
Que confusão :S
A resposta certa foi dada por Carlos Antunes, que seguiu as exigências indicadas.
No entanto, foi pena não ter indicado os passos intermédios, que vão desde as 2 equações indicadas até ao resultado final.
Talvez ainda o possa fazer, pois essa parte, algebricamente, não é tão fácil como parece à 1ª vista...
Foi Machado de Assis.
Sofia,
(A resposta refere-se à pergunta "quem disse...")
Certo!
A frase aparece n' «O Alienista»
Entretanto, continuo à espera da 2ª solução para o problema da escada e da casa.
Trata-se de uma solução "esquisita", mas matematicamente possível...
x aproximadamente igual a 8,19
y aproximadamente igual a 9.64
com a escada quase deitada, invertem-se os valores
altura do prédio = 4 metros
talvez a resposta mais correcta seja
x=4 metros
y=12 metros
Então o que se passa com a Raquel, que até foi a 1ª pessoa a dar as respostas certas (como eu escrevi no comentário das 19h50m)?
Resumindo e concluindo:
No essencial, o passatempo está encerrado com as 3 respostas certas já dadas:
1ª:Altura=12 metros
2ª:Altura=4 metros
3ª:Autor da frase: Machado de Assis
__
No entanto, e como o problema é interessante, aceitam-se comentários, incluindo outras abordagens, etc.
NOTA: o artifício matemático a que o autor do passatempo recorreu (para resolver o sistema de equações "manhoso") parece-me que merece particular atenção.
Será que o Carlos Antunes usou o mesmo processo?
Ou outro?
Qual?
Ontem não tinha tempo para mais do que aquela resposta.
Logo depois fui celebrar um aniversário com uma jantarada.
A minha forma de resolução foi a mais "usual", obtive
y=3x/(x-3)
e substitui na equação quadrática, recorrendo depois do rearranjo da mesma à fórmula resolvente.
Um abraço!
Já agora, e desenvolvendo a resposta anterior:
Pegando na 1ª equação:
x^2+y^2-160=0
e substituindo o valor de y por
y=3x/(x-3)
obtém-se:
x^2+[3x/(x-3)]^2-160=0
desenvolvendo e desembaraçando de denominadores chega-se, com algum trabalho, a:
x^4-6x^3-142x^2+960x-1440=0
Aqui chegados, estamos metidos num grande sarilho, pois trata-se de uma equação do 4.º grau, para a qual não há "formula resolvente".
E, não sendo do tipo
ax^4+bx^2+c=0
não permite uma redução para outra do 2.º grau.
Daí, que me pareça genial a solução proposta pelo criador do problema (ver link indicado) quando recorreu a um artifício algébrico para resolver o berbicacho.
Como eu deixei a minha explicação muito breve e confusa, aqui fica o que fiz:
"3x/(x-3) = y/3 --> xy = 3 (x+y)
Depois transformei x^2+y^2 em (x+y)^2 - 2xy e escrevi a equação tal que
(xy/3)^2 - 2xy - 12.65^2 = 0 (esta a tal equação quadrática que disse ter aplicado a fórmula resolvente)
Fórmula resolvente com
a = 1/9, b = -2 e c = 12.65^2
Fiquei com xy = 48 (aproximado) e, logicamente, x + y = 16.
Obtive depois a equação quadrática x(16 - x) = 48 ou -x^2 + 16x - 48 = 0 (novamente a fórmula resolvente).
Depois foi preciso ter o cuidado de perceber que havia duas soluções possíveis, x = 4 ou x = 12 embora, logicamente, 4 fosse um valor demasiado reduzido para o tamanho da parede.
Depois foi voltar à equação inicial y = 3x/(x-3) para verificar que para x = 12, y = 4."
Acaba por ser parecida com a solução impressa, embora menos elegante, admito.
Mas como estava a trabalhar à pressa para sair para um jantar de aniversário, foi o possível.
Um abraço!
Acabei de me aperceber que há uma solução muito mais directa para este problema!
Temos o seguinte conjunto de equações:
x^2+y^2=12.65^2
y/3=12,65/z
x/12,65=(x-3)/z
onde z é a distância do topo da escada ao ponto onde está presa.
Apesar de se introduzir mais uma incógnita, consegue-se um sistema de 3 equações a 3 incógnitas que pode ser resolvido em ordem a z.
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