24.9.05

Um problema curioso

IMAGINE-SE um planeta homogéneo, sobre o qual existe uma torre e onde se cava um poço.



Desprezando o efeito do peso da torre e da "terra" retirada para escavar o poço, pergunta-se:

Onde é que um corpo pesa mais:

Em A - no fundo do poço?
Em B - a meio desse poço?
Em C - à superfície do planeta?
Em D - no cimo da torre?

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NOTA: A resposta certa («À superfície do planeta») já está dada por J. Oliveira no «Comentário-4».

6 Comments:

Blogger Peter of Pan said...

Como leigo no assunto, vou atirar a resposta que, à partida, me parece ser correcta: A. Alego isto devido à força da gravidade.
Não sei se estou a raciocinar bem! Espero ansiosamente a solução do puzzle!! :)

24 de setembro de 2005 às 15:40  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Peter of Pan,

O seu raciocínio baseia-se no facto de A estar mais próximo do Centro da Terra. É a resposta mais frequente, de facto; e foi precisamente por isso que o problema aqui foi posto!

No entanto, se fosse só isso a ter em conta, então um corpo que estivesse MESMO no Centro da Terra teria peso MÁXIMO.

Ora, na realidade, um corpo colocado no Centro da Terra tem peso ZERO, pois é atraído em todas as direcções com a mesma força!

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Posso dar já a resposta, deixando os detalhes para depois (com um desenho que vou ter de fazer):

O corpo tem peso máximo à superfície do planeta.

24 de setembro de 2005 às 16:22  
Blogger Pêndulo said...

Claro que é em C. O peso resulta da atracção entre duas massas sendo uma o corpo e outra a da Terra. Quanto mais para o interoir do planeta menos massa há "abaixo" a atraír o referido corpo. Restam os pontos C e D em que a massa da Terra é igual sendo portanto a atracção em direcção ao centro igual. Há todavia que considerar a força centrífuga que contraria o efeito do peso e que se manifesta num corpo em rotação sendo tanto mais forte quanto maior for o raio da trajectória circular desse corpo. Em A essa força é mais forte que em C pois a distância (raio) ao centro de rotação é maior.

24 de setembro de 2005 às 17:50  
Anonymous Anónimo said...

Para quem já sabe, é fácil : o corpo pesa sempre mais à superfície do planeta.

Isto não é assim tão evidente, mas posso tentar uma explicação sem recorrer a fórmulas matemáticas.

O peso traduz a força de atracção exercida pelo planeta sobre a massa contida no corpo.

Por comodidade, podemos supor que no ponto considerado se encontra um corpo com a unidade de massa, circunstância em que chamamos à força gravitacional aí exercida, o campo gravítico do planeta no ponto em apreço.

Num caso de simetria esférica e com uma distribuição de massa no interior do planeta que se possa considerar homogénea, hipótese suficientemente boa para a generalidade dos casos, a força de atracção exercida pelo planeta num ponto qualquer, situado no interior, à superfície, ou no exterior, depende apenas da distância do ponto ao centro do planeta.

Repito que isto resulta da simetria esférica e da homogeneidade de massas. Se o planeta tiver uma forma caprichosa, tipo batata, como acontece com alguns asteróides, já não vale.

A simetria esférica permite-nos recorrer a um “truque” para calcular facilmente o campo gravítico do planeta num ponto a qualquer distância do seu centro. Esse truque consiste em condensar toda a massa do planeta, ou a parte dela que interessa, no respectivo centro.

Se o ponto estiver à superfície do planeta, ou no seu exterior, conta para o cálculo toda a massa do planeta. Se estiver no interior conta apenas a massa de uma esfera interna, de raio igual à distância do ponto ao centro do planeta.

Relativamente ao problema apresentado, no caso dos pontos C e D conta a massa total do planeta. No caso dos pontos A e B conta apenas a massa das esferas com raio igual à distância desses pontos ao centro. Em qualquer dos casos devemos imaginar as massas que interessam colocadas no centro do planeta para fazer as contas.

Ora, como todos têm mais ou menos presente, o campo gravítico diminui com o quadrado da distância do ponto ao centro do planeta. Logo, no ponto D, exterior, o campo gravítico será menor do que no ponto C, situado à superfície.

A porca torce o rabo é nos pontos A e B. Mas tentemos ser claros e concisos.

O problema é saber como varia o campo no interior da esfera. É de suspeitar que já não varie com o quadrado da distância. E, de facto, não varia dessa forma.

Com efeito, para pontos interiores, quanto mais próximos estiverem do centro, menor é a esfera que interessa ao cálculo do campo gravítico e menor a massa nela contida.

Sabemos que o volume de uma esfera varia com o cubo (potência 3) do raio. Se admitirmos a homogeneidade da distribuição de massas no interior do planeta, também a massa contida em esferas interiores deve variar com o cubo do raio dessas esferas.

Numa avaliação expedita, podemos fazer o seguinte raciocínio : se a força gravítica exercida a uma dada distância do centro da esfera varia com o inverso do quadrado dessa distância e se a massa que exerce a força num ponto interior à esfera varia com o cubo da distância desse ponto ao centro, é de esperar que, no interior da esfera, o resultado seja uma força que varia directamente com a distância ao centro (potência 3 a dividir por potência 2).

De facto, é isso que se verifica. O campo gravítico no interior de uma esfera homogénea é nulo no centro e aumenta linearmente com a distância ao centro, até à superfície, onde revela o valor mais elevado, decaindo depois, em pontos exteriores, com o quadrado da distância.

Portanto e finalmente : a força maior é a exercida no ponto C, à superfície do planeta.

Nos pontos interiores, A e B, o peso é sempre menor do que à superfície e tanto menor quanto mais próximo o corpo estiver do centro, sendo o peso menor em A do que em B.

No ponto D apenas podemos dizer que o peso é menor do que à superfície, mas, sem conhecer as distâncias, nada podemos afirmar quanto à relação com o peso nos pontos A e B. Pode acontecer que o peso em D seja igual ao peso em A ou em B.

Jorge Oliveira

24 de setembro de 2005 às 18:22  
Blogger Peter of Pan said...

Ahhhhh... não fazia ideia, sinceramente. Grato pelas explicações!!! :) Estou sempre a aprender... :)

24 de setembro de 2005 às 18:50  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Jorge Oliveira,

Certíssimo, caro amigo!

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De ressaltar uma coisa curiosa que o meu amigo diz a meio do seu texto (para a qual eu ia fazer um desenho, mas assim já não é necessário):

O peso do corpo A neste planeta é igual ao peso que ele teria se estivesse à superfície de um outro planeta semelhante, mas de raio igual à distância do centro deste ao ponto A.

24 de setembro de 2005 às 19:26  

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