O paradoxo da melancia
Por Nuno Crato
É UM PROBLEMA CURIOSO, que de uma ou outra forma aparece regularmente nas Olimpíadas de Matemática. Quem folhear os já publicados quatro volumes de problemas destas competições encontra-o sob várias formas. As contas não são difíceis. O difícil é acreditar nelas.
Começa-se, por exemplo, com uma melancia que tem um quilograma. Apenas 1% da melancia é sólida, os outros 99% são água. A melancia é colocada ao sol e desidrata-se. Passa a ter apenas 98% do precioso líquido. A pergunta é: quanto pesa agora a melancia?
A resposta é fácil desde que se façam bem as contas. Mas vale a pena começar por um alvitre. Terá cerca de 980 gramas? Ou 990? Ou 900?
Deixem-me escrevê-lo por extenso, pois nunca é de mais repetir que «gramas» é do género masculino: novecentos gramas. Sim, novecentos gramas — é num número desses que a maioria das pessoas aposta, talvez pensando que 1000 g x 98/99 é a solução. Se assim fosse, a melancia passaria a ter 989,8989... gramas, ou seja, arredondando, 990 g.
O surpreendente é que as contas estão erradas. Muito erradas! Na realidade, o peso da melancia diminui para metade. Passa a ter 500 gramas. Sim, quinhentos gramas!
A conta é simples: se 99% era água, a parte sólida tinha 10 gramas. Se agora a água é 98% da melancia, a parte sólida é 2%.
Por uma regra de três simples ou por qualquer outro método, por exemplo, reparando que 2% é 1/50, vê-se que a dita passou a ter apenas 500 gramas. Reduziu-se a metade.
O paradoxo é educativo, mostra que não se podem fazer proporções simples quando se usam medidas relativas. Mas para o paradoxo ser uma surpresa é preciso começar por alvitrar uma solução.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 8 de Dezembro de 2007
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Afixado por: Nuno Crato às 09:24
17 Comments:
Quando Nuno Crato afirma que uma melancia tem 99% de água e depois "passa a ter apenas 98% do precioso líquido", a utilização do artigo definido, ainda por cima reforçado com o advérbio "apenas" (que estabelece um juízo de valor que só tem significado numa relação comparativa com a situação anterior) induz a acreditar que se trata de 98% dos 99% atrás referidos. Melhor seria dizer inequivocamente "passa a ter 98% de água".
A Matemática é uma coisa muito linda, mas a língua portuguesa também. Alguém haveria um dia de fazer um estudo sério para averiguar quanta da ignorância dos nossos alunos resulta da deficiente formulação das questões com que são avaliados.
Tanto preciosismo! Santo Deus, é uma crónica! Basta perguntar qual o sujeito de "passa a ter" para perceber que é a melancia que passa a ter 98% "do precioso líquido".
Não me parece que a questão esteja mal formulada. Não sou 'expert' na língua portuguesa, mas não consigo fazer a leitura que EB faz. A água passou de 99% para 98%, não foi? Como é que se pode ler que passou para 98% do estado primitivo (99%)?
Eu concordo com "eb". De facto a pergunta parece-me induzir em erro.
Mas à parte disto, não consigo perceber como é que a melancia fica com metade do peso! E acreditem que já me esforcei bastante. Provavelmente é porque sou um zero em matemática, mas de qualquer modo se alguma alma caridosa me pudesse tentar ajudar a fazer luz...
Paulo Sousa - Não está em causa ser uma crónica. A minha crítica foi à falta de rigor de muitos enunciados das questões académicas, matemáticas e não só. E não é um problema de sujeito. Talvez com um exemplo diferente se perceba melhor:
Metade dos meus animais de estimação são gatos. Mas uma doença rara atingiu hoje o meu zoo, que passou a ter apenas um décimo dos preciosos felídeos.
Nisto que acabei de dizer compreende-se que só fiquei com um décimo dos gatos que tinha ou que um décimo dos meus animais são agora gatos? Ou dá para ambas as coisas?
Ti - Se a melancia pesava um quilo e 1% era matéria sólida, esta parte sólida pesava 10 gramas (1000x0,01). Se estes mesmos 10 gramas que não evaporam passam a ser 2% da melancia (100%-98%) então a melancia toda pesará 50 vezes mais, pois 2% cabe 50 vezes em 100% (50x2%=100%). Então, pesará 50x10g=500g.
Nao esta escrito que 1% corresponde a peso. Pode ser 1% volume. Se esse 1% correspondesse ao peso a densidade deveria ser a mesma que a da agua para o peso final ser 1kg. E neste caso, se evaporasse 1% dos 99% de agua, a variaçao de peso seria inderior a 10gramas.
B.
Hum...
Tentei dar razão à solução, mas depois de aturada pesquisa cheguei à brilhante conclusão que a solução apresentada está errada.
Se a melância perdeu 1% da parte liquida, então basta subtrair o peso dessa parte para obtermos o resultado pretendido, e esse será 990g.
Não, Ti. Está a ir precisamente pelo erro que o enunciado sugere ao usar valores relativos (percentagens). A melancia não perdeu 1% de água, perdeu muito mais. Faça as contas ao contrário:
Uma melancia pesa 1 kg e 1% é a parte sólida. Quanto pesa a parte sólida?
1.000 x 1% = 10g
Outra melancia pesa meio quilo e 2% são a parte sólida. Quanto pesa a parte sólida?
500 x 2% = 10g
Está a ver? A segunda melancia poderia ser precisamente a primeira depois de deixada ao sol e ter passado a parte líquida de 99% para 98% do peso total.
Já agora, para levarmos a questão até ao fim, qual foi a perda percentual de água? A água inicial eram 990 gramas e a final 490. Perderam-se 500 gramas de água, ou seja, 51% da água inicial (500/990).
Finalmente fez-se luz!
E agora, obviamente, sinto-me estúpido!
Obrigado eb tem toda a razão!
E ainda por cima era fácil de perceber!
Mil perdões pela parvoíce!
Há um outro erro gravíssimo no enunciado: é dado que a melancia possui X kg, e que a *parte sólida* é Y% da melancia. Assim, em momento algum foi dito que o *peso da parte sólida corresponde a Y% do peso da melancia*. Ao ler o enunciado, logo "de cara" surge a dúvida: "mas qual é peso da parte sólida e o peso da parte líquida?". Esta informação deveria ser fornecida, ao menos em forma percentual, afinal, o que foi afirmado é que 1% de uma melancia com 1kg é sólida (assim, interpreta-se facilmente que 1% de sua massa é sólida) - isto é MUITO diferente te dizer que "1% do PESO TOTAL da melancia é 10g".
E se a pergunta fosse assim: uma melancia tinha um quilograma. Apenas 1% da melancia era sólido; os outros 99% eram água. A melancia foi colocada ao Sol, desidratou-se e passou a ter 98% de água. Qual a nova massa da melancia?
Caro E.B., obrigado por seu raciocínio, mas existe uma inconsistência nessa conta.
Para chegar aos 500g e dizer o que o formulador da questão quer ouvir, é necessário acatar que após desidratar e perder 1% de água, e dessa forma os 10g que antes eram 1% agora são 2%, e assim fazer a regra de três: [se 2% são 10g, 100% são quantos Xg? - e assim obtém-se os aclamados 500g]
Porém o enunciado nos diz que após desidratar a melancia "PERDEU" 1% de sua massa na forma de água. Evaporou, voou pelos ares. Desta forma a melancia não é mais um total de 100% como antes, somando-se sua parte sólida e líquida, ela é um total de 99%.
Portanto na minha humilde opinião, o enunciado é mais sobre interpretação e assimilação do que matemático. Do ponto de vista matemático a melancia simplesmente perdeu 1% de sua massa e agora pesa 990. Ou ainda no mais radical, interpretar que ela perdeu 1% dos 99% da água (e não da massa total) e agora pesa. 990.1g.
Adicionando outro raciocínio, a parte sólida da melancia é fixa.
Não se pode dizer que 10g eram 1% e agora 10g são 2%, pois como eu disse antes, o correto na matemática seria separar a melancia em sólido (10g) e líquido (990g) e fazer contas somente sobre o líquido. Não se pode tratar elementos diferentes sob a mesma ingógnita na equação (nesse caso a incógnita seria a massa)
Portanto a parte sólida era 10g, correspondente a 1% de um total de 100%, e após desidratar a parte sólida continua sendo 10g, correspondente a 1% de um total agora de 99%.
A conta que leva a resposta de 500g é um erro matemático escondido sob palavras, a resposta correta é, como eu disse, 990g (para perda de 1% da massa total) ou 990.1 (para perda de 1% da massa de água).
Caro Bruno Faccini, se entendi bem as suas palavras, parece que está a confundir uma coisa. Quando se subtraem duas percentagens, a diferença deve ser referida como pontos percentuais e não como uma percentagem, pois isso induz em erro. Veja o seguinte exemplo:
Eu ganhava de salário 1200 unidades monetárias e a minha mulher ganhava também 1200. Qual a percentagem do meu rendimento em relação ao rendimento do casal? 1200/2400 = 50%, ou seja, metade.
Mas agora eu tive um aumento de 25% no meu salário. Isso significa que passei a ganhar mais 300 unidades monetárias, totalizando 1500. Qual é agora a percentagem do meu rendimento em relação ao rendimento do casal? 1500/2700 = 56%.
Ora, se eu ganhava 50% do rendimento do casal e agora ganho 56%, quer isso dizer que o meu rendimento aumentou 6%? Já vimos que não. O meu rendimento aumentou 25%.
Sim, mas se os 50% e os 56% se referem ao rendimento total do casal, decerto que os 6% serão o aumento em relação a esse total. Mais um erro. O aumento de 300 representa 12,5% do rendimento total (300/2400).
Em conclusão, as percentagens são valores fáceis de entender e de usar. Mas são também fonte de erros em análises que nos parecem simples e lógicas, pois resultam de meras subtrações.
Este comentário foi removido pelo autor.
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Consideremos a mudança de composição percentual de cada parte da melancia. A água passa de 99% para 98%. A polpa, ou parte sólida, passa de 1% para 2%. Ora, considerando que as melancias são homogêneas, qualquer quantidade de massa de uma delas guardará a mesma composição percentual,tanto de água, quanto de polpa(parte sólida). Assim, podemos trocar o processo de desidratação por cortar um pedaço da melancia com 98% d'água que tenha exatamente 10 g de massa sólida. Como no processo de cortar perdemos tanto água, quanto massa sólida, homogeneamente, conservamos as devidas proporções percentuais, ou seja, qualquer pedaço terá 98% d'água e 2% de polpa. Uma simples regra de três, portanto, nos levará à conclusão de que um pedaço de 500 g dessa melancia é a único, cujo teor de 2% de polpa corresponde a 10 g.
Por outra perspectiva, vemos que a única forma de dobrar o percentual da polpa, mantendo constante sua quantidade de massa absoluta é reduzindo a massa de água pela metade, ou seja, é necessário perder a metade de 1 kg de água e, somente dela, para que, assim, os 10 g de polpa, mantidos constantes, dobrem seu percentual de 1% em relação a 1 kg para 2 % em relação a 500 g
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