O paradoxo das medalhas

Por Nuno Crato

TEMOS DUAS MEDALHAS OLÍMPICAS à nossa espera e sabemos que nenhuma é de bronze. À nossa frente estão três caixas onde as vamos buscar. Numa estão duas de ouro (OO), noutra duas de prata (PP) e numa terceira uma de prata e outra de ouro (PO). As caixas são indistinguíveis, cada uma tem duas gavetas indistinguíveis e cada gaveta a sua medalha. Não sabemos mais nada. Escolhemos uma caixa ao acaso, abrimos uma das suas gavetas e encontramos uma medalha de prata. Qual é a probabilidade de a segunda gaveta dessa caixa ter uma medalha de ouro?

A questão parece simples. Uma vez que fica eliminada a hipótese de termos escolhido a caixa com duas medalhas de ouro (OO), temos duas hipóteses: ter escolhido a caixa com duas medalhas de prata (PP) ou ter escolhido a que tem uma medalha de cada metal (PO). Parece resolvido — a probabilidade de ter ouro na outra gaveta da caixa que escolhemos será 1/2.

Será? Vejamos as coisas por outro prisma. Da forma como procedemos, todas as gavetas seriam igualmente prováveis. Isso quer dizer que podemos ter escolhido uma gaveta da caixa com duas medalhas de prata (PP), a outra gaveta da mesma caixa (PP), ou a gaveta com prata da caixa mista (PO). Ou seja, temos três hipóteses. Só numa delas está ouro do outro lado. O que quer dizer que a probabilidade de sair ouro depois da prata é apenas 1/3.

Se o leitor está confuso, não desanime. Mas pense um pouco e verifique que a segunda resposta está certa.

Este paradoxo foi inventado há 110 anos pelo matemático francês Joseph Bertrand e continua a baralhar as mentes de muita gente. Nada tem a ver com os jogos olímpicos, onde pouco é deixado à sorte.

«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 30 de Agosto de 2008