Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 14:58
19.9.09
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8 Comments:
A resolução deve ser feita por equações, mas pode ser difícil apresentá-la em comentário.
Mesmo assim, poderão indicar-se, aqui, os passos essenciais e a resposta.
Sugere-se, por uma questão de uniformização, que os 3 números sejam referidos por x, y, z, e que a razão da progressão seja r.
Os números além de x,y e z, sabendo que estão em progressão geométrica podem-se escrever como:
y=x/r e z= xr. Logo,
x/r . x . xr = 512
xxx = 512
x^3 = 512
x=8.
Por outro lado
8/r.8 + 8/r.8r + 8.8r = 224
64/r + 64 + 64r = 224
64 + 64r + 64r^2 = 224r
64r^2 - 160 + 64 = 0
2r^2 - 5 + 2 = 0
r=2 v r= 0.5
Logo,
4, 8 e 16
ou 16, 8, 4 o que vai dar ao mesmo...
x.y.z = 512
(x.y)+(y.z)+(x.z) = 224
numa progressão geométrica,
y = x.r
z = y.r
logo
y = x.r ; y = z/r
x.r = z/r
r^2 = z/x.
se r = 2,
y = 2x
z = 2y
x.y.z = 512
(x).(2x).(2y) = 512
(x).(2x).(4x) = 512
8x^3 = 512
x^3 = 64
x = 4
y = 8
z = 16
(4).(8).(16) = 512
(4x8)+(4x16)+(8x16) = 32+64+128 = 224
ps: não vi que o musicólogo tinha publicado o comentário antes e melhor do que eu.
;)
Certo.
O que este problema tem de curioso é que a maioria das pessoas que resolve este problema chega à solução
x=4
y=8
z=16
r=2
e esquece-se da outra:
x=16
y=8
z=4
r=1/2
pois, por vezes, há a ideia de que uma progressão geométrica é algo que é sempre crescente.
E tanto isso é verdade, que a resolução "oficial" (apresentada mais tarde pela mesma publicação) omite a 2ª solução!
Musicólogo,
Apesar de a resposta final estar certa, há uma gralha logo no início:
Não é x^3=512
mas sim
(xr)^3=512
de onde (xr)=8
Daí, tira-se que
r=8/x
==========
A outra equação é
xy+xz+yz=224
Compondo tudo, chega-se a uma equação do 2º grau, com duas soluções:
r=2
x=4
(o que implica y=8 e z=16)
e
r=1/2
x=16
(o que implica y=8 e z=4)
Carlos não percebo a gralha que me aponta, ela no meu raciocínio não faz sentido. Não se esqueça que eu não utilizei a sua terminologia de x, y, e z.
Para mim "x" é o termo "do meio" dos três possíveis, sendo x/r e x.r os outros.
Para todos os efeitos, logo, é o termo "do meio" ao cubo que é igual a 512. A razão foi cortada.
E se vir eu apresento-lhe as duas soluções porque eu obtive a razão igual a 2 e igual a 0.5
Certo!
Essa do "termo do meio" é uma magnífica abordagem!
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