Do outro lado do espelho
Por Nuno CratoA SEGUNDA AVENTURA de Alice possui ainda mais referências eruditas e científicas que a obra anterior de Charles Dodgson. Escrevendo sobre o pseudónimo de Lewis Carroll, este professor de matemática de Oxford tinha aqui o propósito de entreter jovens e não de ensinar matemática e lógica. E é assim que as aventuras de Alice devem ser lidas. Mas o público adulto não pode deixar de notar as subtilezas da narrativa.
O começo é profético. Ao passar pelo espelho, Alice fica igual? O leite simétrico, o leite do outro lado, é tão bom como o deste? (...)
O começo é profético. Ao passar pelo espelho, Alice fica igual? O leite simétrico, o leite do outro lado, é tão bom como o deste? (...)
Texto integral [aqui]
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NOTA: No final desta crónica, é deixado um desafio aos leitores. Ao que primeiro der a resposta certa (com a devida justificação, evidentemente), será atribuído um exemplar de Alice no País das Maravilhas (ou outro livro de igual valor). O prazo terminará às 20h de quinta-feira, 4 Mar 10.
Actualização (4 Mar 10/21h30m): foi decidido premiar Joana Dias e Luís Bonito, pelo que ambos têm 24h para escreverem para premiosdepassatempos@iol.pt, indicando um livro [desta lista] e morada para o seu envio.
Etiquetas: NC
Afixado por: Nuno Crato às 13:00
9 Comments:
Boa pergunta!
Se a caixa tivesse uma bola de cada cor, a probabilidade de sair uma bola branca seria de 50%.
Do mesmo modo, a probabilidade de sair uma bola preta também era de 50%.
No entanto, e como só fizemos a experiência uma vez, não poderemos afirmar com certeza que a bola que não foi retirada é preta ou branca.
Só retiramos uma bola uma única vez.
Há a possibilidade de haver uma bola preta na caixa, mas como só fizemos a experiência uma vez (duas ou três repetições seriam aconselháveis), não podemos tirar isso a limpo.
Assim, conclui-se como (mais) provável que ambas as bolas fossem da mesma cor.
Essa traz água no bico.
Para mim a probabilidade da bola ser branca deve rondar os 75% uma vez que é a cor da bola que saiu.
Deve haver uma equação que traduza probabilidades que eu não conheço, mas cujo resultado deve andar perto do que avancei.
Granda lata né?
Como diz o outro – Assim também eu!
Bola branca original - B
Bola preta - P
Bola branca acrescentada - A
Ao retirar uma bola branca do saco, temos 1/3 de probabilidade de a bola que lá ficou dentro ser B, 1/3 de ser P e 1/3 de ser A.
Ou seja, há 1/3 de probabilidade da bola no saco ser preta, e 2/3 de ser branca.
Ao retirar-se uma bola branca lá de dentro há 1/3 de possibilidade de ela já ser a branca original, mais o 1/3 de ela já ter saído.
Ou seja, há 2/3 de probabilidade de a bola original ser branca.
(Com correcções mas sem certezas)
Ao acrescentarmos uma bola branca ao saco, passamos a ter duas combinações possíveis:
A
Bola branca + bola preta
B
2 bolas brancas
A probabilidade de tirarmos uma bola branca no caso A é de 0.5.
No caso B essa probabilidade é 1.
Como a probabilidade de obtermos cada caso é 0.5, então teremos que a saída da bola branca tem uma probabilidade de 0.25 (A) + 0.5 (B).
Ou seja, no total, a probabilidade de tirar uma bola branca é de 0.75, depois de se adicionar a bola branca à que já lá está.
No entanto, a probabilidade dessa bola ser a original é de apenas 0.375.
Assim sendo, a probabilidade da bola preta ser a original é de 0.625.
Antes de mais, deixem-me dizer que, possivelmente, a resposta certa já foi dada (mas vamos esperar o veredicto do Nuno Crato).
Seguidamente, e apenas por curiosidade, indico a minha abordagem do problema, mas adianto já que está ERRADA...
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Hipótese A: a caixa tem, inicialmente, uma bola preta (P)
Hipótese B: a caixa tem, inicialmente, uma bola branca (B1)
A bola que vamos meter, branca, chamar-se-á B2.
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Só pode haver 4 sequências diferentes:
Caixa tem P
Juntamos-lhe B2
Tiramos a bola P
Caixa tem P
Juntamos-lhe B2
Tiramos a bola B2
Caixa tem B1
Juntamos-lhe B2
Tiramos a bola B1
Caixa tem B1
Juntamos-lhe B2
Tiramos a bola B2
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Ou seja: das 4 hipóteses possíveis, há
25% de probabilidades de sair B1
50% de probabilidades de sair B2
25% de probabilidades de sair P
Em termos de cores, há, pois:
75% de probabilidades de sair uma branca
25% de probabilidades de sair uma preta
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Conclusão:
Dado que se diz que, no fim, saiu uma branca, é mais provável que, no início, a caixa tivesse também uma branca.
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NOTA: Volto a dizer que este raciocínio, apesar de me parecer muito bonito, está errado...
(Fiz umas pequenas alterações ao meu comentário anterior; talvez agora esteja menos confuso).
Sabemos que o saco contém uma bola, preta ou branca. A solução pressupõe que as probabilidades de a bola do saco ser preta ou branca são iguais embora isso não tenha sido claramente indicado.
Primeiro, uma solução mais intuitiva:
Consideremos P (preta) e B1 (Branca 1) que estão no saco. Juntamos B2 (branca 2).
Depois de remover uma bola branca, temos 3 possibilidades:
Dentro do saco 1: B1; Fora do saco 1: B2
Dentro do saco 2: B2; Fora do saco 2 : B1
Dentro do saco 3: P; Fora do saco 3: B2
Em 2 dos casos fica uma bola branca no saco, ou seja a probabilidade de estar preta no saco é 1/3.
Ou pelo Teorema de Bayes:
P (A|B) = probabilidade de A assumindo (ou se acontece) B.
(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes)
P(A) = Probabilidade (sair bola Preta) = 1/4
P(B) = Probabilidade (sair bola Branca) = 3/4
(O Carlos explicou estas probabilidades no comentário anterior. Trata-se da probabilidade de sair uma bola branca (ou sair preta) nas 4 opções possíveis.
Eq. 1 (Teorema de Bayes)
P(sair Preta | sai Branca) = P(sair branca | sai Preta) * P(sair Preta) / P(sair branca)
Eq.2 , Probabilidade de sair uma branca se sair primeiro uma preta:
P(sair branca | sai Preta) = 1
Então, a Eq. 1 fica:
P(sair Preta | sai Branca) = 1 * 1/4 * 4/3= 1/3
E assim a probabilidade de ser uma preta no saco (saindo primeiro uma branca) é 1/3.
Já agora, aqui fica o enunciado em inglês:
A bag contains a counter, known to be either white or black.
A white counter is put in, the bag is shaken, and a counter is drawn out, which proves to be white.
What is now the chance of drawing a white counter?
Ver actualização acabada de afixar.
De facto, Joana Dias deu a resposta da forma mais simples.
Por outras palavras, disse:
* Bola original - Preta (P) ou Branca (B1), não sabemos.
* Bola acrescentada - Branca (B2), é-nos dito.
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Depois de retirarmos uma bola do saco (que sabemos ser branca), temos:
* 1/3 de probabilidades de que a bola que lá ficou seja B1,
* 1/3 de que seja B2
* 1/3 de que seja P
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NOTA: Se quisermos analisar em termos de "qual a próxima bola a sair", a resposta é a mesma, pois é a que lá ficou (que é só uma)
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