Passatempo especial
Ed. Campo das Letras, 15 cm x 23 cm, 762 páginas
Numa altura em que tanto se fala das desgraças do ensino da Matemática, o SORUMBÁTICO oferece o livro cuja capa em cima se vê a quem der a melhor explicação para esta velha "curiosidade de salão". Em caso de empate, o prémio será entregue a quem der a resposta primeiro.
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As demonstrações deverão ser feitas em termos matemáticos (recorrendo à Aritmética Racional, p. ex.) e apresentadas na caixa de comentários entre o momento em que o contador-de-visitas indicar o n.º 297.792 e as 12h do dia seguinte.
NOTA: Como esse número foi atingido às 0h 14m do dia 30 de Julho, as respostas poderão ser dadas até às 12h do dia 31 (3ª-feira)
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A selecção da resposta vencedora não será feita por nenhum dos "contribuidores" do blogue, mas sim por um leitor amigo, pessoa que tem muito gosto por estes assuntos e a quem se pediu que executasse tão melindrosa tarefa...
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Por sugestão do amigo a quem pedi que avaliasse as respostas, o prazo foi dilatado até às 24h do mesmo dia.
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Por decisão do "júri" (v. "comentário"), o vencedor foi o participante que respondeu às 23h52m
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 17:25
22 Comments:
Quem quiser, pode ir dando "dicas" (ou colocando questões sobre o problema), embora o prémio só seja atribuído se a resposta for dada no período indicado.
Então eu começo, recorrendo à velha Aritmética Racional:
«Considere-se um número representado por abc e cujo valor numérico é 100a+10b+c.
Virado ao contrário, teremos um número representado por cba e cujo valor numérico é 100c+10b+a»
Quem continua?
Parece que a expressão "Aritmética Racional" já não se usa. Paciência, mas dá para perceber do que se trata - e isso é que é importante.
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Antes de mais, a tem de ser diferente de c (caso contrário, a 1ª operação dava zero).
Prossigamos:
Faça-se a subtracção dos 2 números indicados (obtendo um def que valerá 100d+10e+f), e some-se com esse número virado do avesso (fed, que vale 100f+10e+d).
O que dá sempre 1089...
Porquê?!
Aqui deixo uma "dica":
Começar por analisar o caso mais simples de números com 2 algarismos.
O resultado também nesse caso é constante e =99
72-27=63
63+36=99
81-18=63
63+36=99
54-45=09
09+90=99
Dica:
se a diferença entre o primeiro nº e o último for 1 o resultado é sempre 99.
Se for 2 o resultado é sempre 198 (99+99)
Se for 3 é sempre 297 (99+99+99), etç.
Onze vezes 99 são 1098
Depois de feita a demonstração (que, certamente, não deixará de aparecer), proponho a seguinte reflexão:
Seria aceitável, em termos matemáticos, fazer a demonstração pondo um computador (ou alguém por ele...) a ensaiar todas as hipóteses possíveis (que, por sinal, são poucas centenas)?
Anónimo das 12:55 PM
99 só é o resultado da sequência indicada (subtracção seguida de soma) se o número de partida tiver 2 dígitos.
Se o número de partida tiver 3 dígitos, dá 1089.
Se tiver 4 dígitos, pode dar 9999 ou 10890:
5694-4965=0729
0729+9270=9999
4321-1234=3087
3087+7803=10890
6791-1976=4815
4815+5184=9999
Não estou a perceber como é que entra aqui o «Onze vezes 99».
Atenção!
À parte as considerações e "dicas", que são muito bem-vindas, convém não perder de vista que o problema em causa é para números de 3 algarismos (entre 001 a 998).
Sugiro que se faça como na escola:
Colocar o número maior em cima, o menor em baixo, e fazer as contas.
A 1ª conta que se exige é uma subtracção, que se indicaria assim:
100a+10b+c
100c+10b+a [subtrair]
-----------
O primeiro problema surge logo quando atacamos esta conta à moda da Escola Primária, começando pelas unidades e fazendo «a para c...» pois a > c (sempre)
Vamos, em consequência disso, ter o velho problema do "e-vai-um".
E mais não digo!!!
Aceitando a abordagem anterior, teremos de ir ao termo 10b e retirar-lhe uma dezena que se juntará ao c.
Assim, o par de polinómios passaria a representar-se:
100a+10(b-1)+(c+10)
100c+10b+a
------------
O novo número, a que atrás se convencionou chamar def, vale agora:
100(a-c)+10(b-1-b)+(c+10-a)
sendo:
d=(a-c)
e=-10
f=(c+10-a)
Mas tendo de ser "e" um algarismo positivo (pois é um dígito de um número), o valor "-10" não é aceitável, pelo que vamos às centenas "roubar uma" e corrigir o polinómio.
Etc., etc., etc.
A operação final consistirá em somar este esquisito def com o fed e ver se dá 1089...
Infelizmente não sou grande coisa a matemática, mas numa 6ª feira em que não me apetece fazer contas, é mais fácil responder ao desafio do Carlos Medina Ribeiro:
"Seria aceitável, em termos matemáticos, fazer a demonstração pondo um computador (ou alguém por ele...) a ensaiar todas as hipóteses possíveis (que, por sinal, são poucas centenas)?"
Aqui está o resultado:
http://www.sendspace.com/file/3dmdbm
(É só clicar no link no fundo da página e clicar em "Abrir")
Total de combinações possíveis: 450
Só um esclarecimento:
O meu comentário acima é a prova de que o enunciado do problema está correcto, mas obviamente não é a resposta.
Prova que o enunciado está correcto porque demonstra claramente que todas as combinações possíveis (3º algarismo menor que o primeiro) dão o resultado 1089.
Mas não é a resposta ao passatempo, porque não é uma demonstração matemática baseada numa fórmula, é apenas o resultado das simples operações aritméticas referidas no enunciado do passatempo.
Ultimamente, os computadores vieram avivar essa discussão.
Um caso célebre é a conjectura das 4 cores dos mapas:
«Seja qual for a forma que um mapa tenha, bastam 4 cores para o colorir, nunca ficando duas regiões contíguas com a mesma cor»
Tanto quanto sei, essa conjectura só foi provada por computador, ensaiando todas as hipóteses possíveis...
Eu quero é que chegue depressa a altura de responder, pois já tenho uma demonstração preparada para apresentar ao povo!
O número pode-se escrever na forma abc em que a maior que c.
Para fazer a operação abc-bca (como a é maior que c) temos que transformar abc em a(b-1)(c+10) – retirámos 1 unidade ao algarismo das dezenas aumentámos 10 unidades ao algarismo das unidades - agora como b-1é menor que b, vamos baixar 1 unidade ao a e aumentar 10 no b. O nosso número passou a ter a seguinte forma: (a-1)(b-1+10)(c+10), que se pode escrever (a-1)(b+9)(c+10).
Vamos agora fazer a subtracção (a-1)(b+9)(c+10) – cba = (a-c-1)(9)(c-a+10). Invertendo o número, vamos agora somar (a-c-1) (9)(c-a+10) + (c-a+10)(9) (a-c-1) que dá, começando pela unidades:
(c-a+10) + (a-c-1) = 9 unidades;
A seguir as dezenas
9 + 9 = 18, passa a 8 dezenas
(baixamos 10 unidade ás dezenas e soma-se 1 unidade á soma seguinte;
Depois as centenas
(a-c-1+1) + (c-a+10) = 10 centenas, logo o resultado final será: 1089.
Para que se possa jogar com a posição relativa dos algarismos que constituem os números, há que ter em atenção a diferença entre a sua representação e o seu valor.
Assim, seja abc a representação do número de partida, e o seu valor [100a+10b+c];
O número "inverso" representa-se por cba e vale [100c+10b+a]
Numa conta com números concretos, colocaríamos abc em cima, cba em baixo, e começaríamos a fazer a conta "a para c...".
Ora, sendo a > b, será necessário ir às dezenas e tirar uma, juntando-a às unidades para que a subtracção dê um valor positivo.
No entanto, com isso, os algarismos das dezenas, que eram iguais, deixaram de o ser, voltando nós a ter a situação em que o número de cima é menor do que o de baixo.
Isso obriga-nos a ir agora às centenas e transferir uma para a "casa" das dezenas.
Depois disso feito, a subtracção a efectuar terá o seguinte aspecto:
[100(a-1)+10(10+b-1)+(c+10)]-[100c+10b+a]
Ao fazer a operação, vamos manter o aspecto centenas/dezenas/unidades, que é importante para, depois, poder "inverter" o resultado e fazer a soma final:
100(a-c-1)+10(9+b-b)+(c+10-a)=
=100(a-c-1)+10(9)+(c-a+10)
____
Fase final: somar esse número com o seu "inverso":
[100(a-c-1)+10(9)+(c-a+10)]+[100(c-a+10)+10(9)+(a-c-1)]
A partir daqui, já não é importante separar os "grupos" por centenas/dezenas/unidades.
Pode, pois, fazer-se logo o desenvolvimento e a soma, que dá (por anulamento dos a e dos c) 1089
Sistematizando, seja a álgebra elementar:
N=número de 3 inteiros cdu (!?): c - centenas; d - dezenas; u - unidades.
1. Então N = 100 c + 10 d + u
2. Condição imposta: u < c
3. M = N"invertido" = 100 u + 10 d + c
4. D = M - N = 100 ( c - u ) + 10 ( d - d ) + u - c = 100 cD + 10 dD + uD
sendo cD, dD e uD os dígitos de D.
5. Os termos multiplicados por um múltiplo de 10 não contribuem para as unidades. Logo o resultado de u - c é o único que contribui para as unidades.
6. Pela condição 2. o resultado de u - c será negativo. Para o tornar positivo sem alterar as unidades vamos juntar e subtrair 10 ao resultado 4. Logo o algarismo das unidades de D é uD = 10 + u - c. Dada a condição indicada em 2., 0 < uD <10.
7. Para as dezenas contribuem 10 ( d - d ) - 10 sendo este último 10 o resultado de 6. Como este resultado é negativo para o tornar positivo sem alterar as dezenas e unidades vamos somar e subtrair 100. Pondo 10 como factor, de [100 - 10 ( d - d ) -10], vem 10 ( 9 ) sendo o algarismo das dezenas de D sempre dD = 9.
8. Para as centenas de D ficam 100 ( c - u ) - 100,ou seja 100 ( c - u - 1 ). Logo o algarismo das centenas de D será cD = c - u - 1. Pela condição 2. vem 0 =< cD < 9. (A condição 2. exclui c = 0.)
9. Seja E = D"invertido" = 100 uD + 10 dD + cD. Então D + E = 100 ( cD + uD ) + 10 ( dD + dD ) + ( uD + cD ).
10. Por simples substituição verifica-se que ( cD + uD ) = 9, (dD + dD ) = 18 e ( uD + cD) = 9. Logo o resultado pretendido será 100 x 9 + 10 x 18 + 9 = 1089 independente dos dígitos de N desde que satisfeita a condição 2.
A explicação de José Gonçalves parece-me certa mas, no essencial (à parte as letras escolhidas), parece-me ser a mesma que Eduardo deu no comentário anterior.
Vamos ver o parecer do júri...
Aqui fica uma análise menos elaborada mas igualmente certa (penso eu de que...):
Indiquemos a conta à antiga:
abc
cba
----
Seja "a para c"=d e tenhamos em conta (e isso é importante!) que o "c para a" difere de 10 do "a para c".
Além disso, como vai ser preciso fazer o velho "e vai um" (o que implica que o algarismo do meio seja 9), a conta dá:
(10-d-1)centenas
9 dezenas
d unidades
Ou seja:
100x(9-d)+9x10+d
que vamos somar com o número "invertido", que é
100xd+9x10+(9-d)
(900-100d+90+d)+(100d+90+9-d)=
=900-100d+90+d+100d+99-d=
=900+90+99=
=1089
É só uma sistematização. Não traz grandes novidades a não ser a de que o resultado intermédio da diferença tem sempre o dígito das dezenas igual a 9 (aliás implícito em resultados já apresentados), além de que, se se garantir que os algarismos das unidades e das centenas são diferentes, é fácil generalizar o resultado para quaisquer números sendo 1089 se o algarismo das centenas for maior que o das unidades e -1089 no caso contrário, aceitando-se resultados negativos para a diferença.
Seja abc a representação do número inicial, e o seu valor [100a+10b+c];
O número “inverso” representa-se por cba e vale [100c+10b+a]
Fazendo abc-cba, vem (100a+10b+c)- (100c+10b+a)= 99 (a-c)
Para simplificar, consideremos a-c = y
Então 1º resultado é igual a 99y.
Vamos somar a 99y o seu “inverso”.
O inverso de 99y é 99(11-y)
Então vem:
99y + 99(11-y) = 1089
Nota: Pode demonstrar-se que o “inverso” de 99y é 99 (11-y).
99y = 100 (y-1) +10 x 9 + (10-y)
“inverso” de 99y = 100 (10-y) + 10 x 9 + (y-1) = 99 (11-y)
Se tivéssemos um número de apenas dois algarismos, o 1º resultado seria do tipo 9z com um inverso de 9(11-z) e com um resultado final de 99.
Na opinião do "juri", «...há várias respostas que chegam ao resultado certo, mas a formulação do leitor das 11:52PM revela melhor aquela elegância que gostamos de observar numa demonstração matemática».
Assim, peço ao autor que mande um mail para sorumbatico@iol.pt, indicando morada para envio do livro.
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Quanto aos outros participantes, resta-nos agradecer a sua óptima participação e o trabalho que tiveram, aproveitando para chamar a atenção para os prémios que serão atribuídos a propósito do visitante n.º 300.000
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