COMO habitualmente, será premiado (com um livro) o primeiro leitor que apresentar a resolução algébrica deste problema.Actualização: o passatempo foi ganho por Helena, a quem o livro que, entretanto, escolheu, já foi enviado
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 00:18
5 Comments:
A idade é de 34 anos.
Apresentando o problema:
Sendo ab, a idade actual e considerando A e B, os algarismos que constituem o seu número, vem que ab é igual a :
ab = 10 A + B
do mesmo modo, cd, a idade,há 22 anos atrás:
cd = 10 C + B
Traduzindo o Problema
A*B = ab -22 = cd
A*B = 10A + B -22
e
A+B+C+D = ab - 24
A+B+C+D = 10 A + B -24
Dado que ab= cd-22
irei considerar a seguinte simplificação (só valida para valores de A e B superiores a 1)
C = A-2
D = B-2
Logo podemos simplificar a equação da soma dos algarismos das 2 idades assim:
2A +2B - 4 = 10A + B -24
de onde se tira B
B = 8A - 20
e que se substitui na equação do produto (idade há 22 anos):
8A^2-20 A = 10A+ 8A - 20 -22
de onde se tira o polinómio do 2º grau:
8A^2 -38 A +42 =0
que tem como soluções
A= 3 e A = 1.75 (que não é número inteiro, logo não pode representar um algarismo)
Logo, considerando A= 3, vem que:
B = 8*3 - 20
B = 4
!logo a Idade é de 34 anos!
Validação:
C= 3-2= 1 e D = 4-2 =2
A*B = 12
12 + 22 = 34 Anos
A+B+C+D = 10
10 + 24 = 34 Anos.
Penso ter conseguido resolver o problema, e validado a simplificação.
Correcção, que não invalida o raciocínio nem o cálculo:
cd = 10*C + D
em vez de
cd = 10*C +B
PERFEITO!
Escreva, então, para sorumbatico@iol.pt para combinar a escolha e envio do prémio!
Este problema pode ter uma dificuldade suplementar se pensarmos que o algarismo das unidades (da idade actual) pode ser 0 ou 1.
Se isso suceder, em vez de o 1.º número passar de
10A+B
para
10(A-2)+(B-2)
passa para
10(A-3)+(B+8)
Etc.
Confesso que não tive paciência para prosseguir, pois a 1ª hipótese já me tinha levado à solução "34".
1- Hipótese C= A-3 e D = B +8
Todo o problema desenvolve-se à volta de algarismos, logo todos, A, B, C e D têm de ser números inteiros entre 0-9.
Esta hipótese dá-me mais probabilidade de obter números fora desta condição do que aquela que considerei C = A-2 e D = B-2.
que só tem duas condicionantes B não poder ser 1 nem 0. (80% probabilidade).
Depois, esta consideração é logo testada nos resultados da resolução do polinómio, ao se verificar não haver raizes inteiras. No caso de isto se verificar resolve-se o exercício em outros 2 passos, considerando que ab = cd-22 só temos 2 hipóteses:
a) se for B for =0 então D =8
b) se B for =1 então D= 9.
Testa-se ambas substituindo B e D e resolvendo o problema em função de 2 incógnitas A e C. E passamos de novo a 2 equações só com 2 variáveis.
Poder-se-ia aplicar nestes 2 últimos casos a vossa consideração:
C= A-3 e D = B +8
Mas, penso que seria mais complicado pois daí adviria um 2º problema:
temos a certeza que a idade é superior a 24 anos, mas e se A for ainda =2?
A-3 seria menor que zero
e entrariamos numa cadeia de suposições.
Pelo que pensei que ir directo aos 80% mais prováveis e dai só ter 2 vias de solução seria a via mais simples de resolver o problema.
De qualquer modo, vou tentar exemplificar a razão porque não escolhi a hipótese que propuseram:
Resolvendo do fim para o princípio:
se a idade é 34 anos.
A= 3
B= 4
C seria então = 3-3 = 0 e
D = 4+8 = 12
que não pode ser considerado algarismo (2 dígitos)
além do mais A+B+C+D = 19 e não 10 (34-24)
Logo a segunda equação não iria de encontra ao resultado.
penso ter completado o meu raciocínio!
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