Quem quer abordar este problema?
Por A. M. Galopim de CarvalhoERA UMA VEZ uma cabra dentro de um prado rodeado por uma vedação circular com um raio de 10 metros. Querendo que o animal apenas comesse a erva de metade da área desse prado, o dono prendeu-o por uma corda presa na referida vedação.
Pergunta-se: que comprimento deve ter essa corda (supondo que se despreza a distância entre a boca da cabra e o ponto da sua amarração à dita corda...)?
Pergunta-se: que comprimento deve ter essa corda (supondo que se despreza a distância entre a boca da cabra e o ponto da sua amarração à dita corda...)?
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Afixado por: A. M. Galopim de Carvalho às 17:45
5 Comments:
Este problema tem muito que se lhe diga.
Como me perdi nos cossenos, catetos e arcossenos, a meio da dedução não resisti e lá fui consultar uma cábula em que figura o cálculo deduzido da área para uma lente assimétrica:
http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html
Indo por partes:
I- A área de "pasto permitida" contida no terreno vedada, resulta da intersecção de duas circunferências.
Sendo r= 10 m, o raio da primeira- (terreno vedado)
e R = comprimento da corda, da segunda.
II- Quanto a esta àrea de intersecção, A, é-nos dito que corresponde a metade da area do terreno vedado logo
A = [pi* (10^2)] / 2
logo
A = 50 Pi = 157.08 m2.
III- A equação para a área de uma lente assimétrica referida na "cábula", pode no nosso caso ser simplificada,
dado d=r,
pois a distância dos centros das duas circunferências corresponde ao raio do terreno vedado.
e obtem-se:
A = A1 + A2 - A3
em que:
A1 = r^2*cos-1[(2r^2-R^2)/2r^2]
A2 = R^2*cos-1[(R^2)/2rR]
A3 = 0.5*raizq[R^2*(2r-R)*(2r+R)]
substituindo nesta equação
A= 157.08 m2
r= 10 m
e resolvendo em função de R, obtive
R = 12.58 m.
Assim, semialdrabando, cheguei a um valor de 12.59 m para o comprimento da corda.
11.587285
Para o smais desconfiados...
a solução completa está em
http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html
CINCO ESTRELAS!
com leitores assim, nao ha' problema que resista!!!
(Ja' reencaminhei as respostas para o professor Galopim de Carvalho, que foi quem o sugeriu).
Mas porque razão, não pode a cabra pastar à vontade?
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