Passatempo-relâmpago - 26 Jul 09
O PASSATEMPO de hoje tem algumas particularidades: antes de mais, é muito fácil, embora um pouco trabalhoso; além disso, o prémio (a atribuir ao primeiro leitor que o resolver - por meios algébricos, evidentemente) só será definido depois de efectuada a escolha que se indica [aqui]. A explicação para este facto é simples: há 4 livros disponíveis para 3 vencedores, pelo que o prémio só se saberá dentro de algum tempo (mas, no máximo, 48h).Importante: a resolução deverá ser completada com a respectiva verificação. Ou seja: depois de obtida a resposta-tripla, deverão ser feitas as contas para provar que o resultado está correcto.
Actualização: o passatempo já terminou. Ver comentário das 16h01m
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 11:13
10 Comments:
Bom dia:
Ora, no fim do Jogo os amigos tinham:
Pedro 40$
Chico 20$
André 130$
Como a cada partida quem perdia tinha que dobrar a quantia que os outros tinham e o André perdeu a última, ele terá dobrado o dinheiro que o Pedro e o Chico tinham no fim da segunda partida. Assim, no final da segunda partida:
Pedro 20$
Chico 10$
André 130$
Como o Chico perdeu a segunda partida, no final da primeira eles teriam:
Pedro 10$
Chico 10$
André 65$
Assim, e como foi o Pedro quem perdeu a primeira partida, no inicio do jogo eles teriam:
Pedro 10$
Chico 5$
André 32,5$.
Algebricamente:
O Pedro começou com x, perdeu a primeira partida pelo que manteve o mesmo dinheiro, ganhou a segunda partida pelo que duplicou o que tinha inicialmente, ganhando mais x, pelo que ficou com 2x, como ganhou a terceira partida, duplicou o que tinha no final da segunda pelo que ganhou mais 2x. Assim:
x+0+x+2x=40; 4x=40; x=40/4; x=10.
Da mesma forma, para o chico que começou com y:
y+y+0+2y=20; 4y=20; y=20/4; y=5.
Para o André que começou com z:
z+z+2z+0=130; 4z=130; z=130/4; z=32,5.
A solução anterior mostra que eles começara a jogar com um total de 47$50 e acabaram com 190$00, o que não deixa de ser interessante.
Interessante é também o facto de ter sido o André a perder as três partidas :)
Inicio:André 178$75 Pedro 2$50 Chico 1$25
Depois da 1ª: André 182$50 Pedro 5$00 Chico 2$50
Depois da 2ª: André 175$00 Pedro 10$00 Chico 5$00
Final: André 160$00 Pedro 20$00 Chico 10$00.
Isto tendo em conta que nessa altura ainda se usava o meio tostão furado :)
Chamo aqui a atenção de que nem sempre o que mais tem no final foi aquele que mais ganhou.
A solução que Dana apresenta parte do princípio que o jogador que perde paga aos outros de uma conta "à parte", e não do dinheiro que tem inicialmente (e que é o que se quer saber).
O entendimento que eu faço do problema é outro, e conduz a contas mais complicadas:
Quem perde, não fica com o mesmo dinheiro, pois tem de pagar aos outros dois (e, ainda por cima, o dobro do que cada um tem a cada momento!)
Vamos esperar, para ver se alguém apresenta a solução para esta 2ª abordagem...
-
NOTA: Neste momento, não tenho acesso à solução pretendida pelo criador do problema. Só daqui a uns dias...
(Estou de saída. Volto só daqui a umas horas)
Isto realmente deu trabalho....
Então:
Pedro começou com x; Chico com y; André com z.
No fim da primeira partida ficaram:
Pedro: x-y-z
Chico: 2y
André: 2z
2ªa partida:
Pedro: 2(x-y-z)= 2x-2y-2z
Chico: 2y-(x-y-z)-2z=3y-x-z
André: 4z
3ª partida:
Pedro: 4x-4y-4z
Chico: 6y-2x-2z
André: 4z-(2x-2y-2z)-(3y-x-z)=7z-x-y
Ora:
4x-4y-4z=40<=>x-y-z=10
6y-2x-2z=20<=>3y-x-z=10
7z-x-y=130
Resolvendo o sistema de três equações (que não vou passar aqui, espero que compreendam), chegamos aos resultados:
x=100
y=50
z=40
A verdadeira soluçao é esta:
Pedro começou com 100 escudos.
Chico começou com 50 escudos.
Andre começou com 40 escudos.
No primeiro Pedro perdeu. Tendo que pagar 50 chico e 40 ao Andre, ficando com 10(o pedro evidentemente).
Assim após a primeira partida, ter-se-ia o resultado.
Pedro -> 10
Chico -> 100
Andre -> 80
No segundo jogo o chico perdeu, logo teve seu pagar 10 ao pedro e 80 ao Andre. depois de se descontar esse valor da sua conta ficou-se com o resultado.
Pedro -> 20
Chico -> 10
Andre -> 160
No terceiro jogo o andre perdeu, tendo assim que pagar ao pedro 20 e 10 ao chico.
fica-se assim com o resultado final.
Pedro -> 40
Chico -> 20
Andre -> 130
(Ass: Pedro)
Verificação:
Pedro: 100-50-40=10; 10x2=20; 20x2=40
Chico: 2x50=100;100-10-80=10;10x2=20
André: 2x40=80;2x80=160;160-20-10=130
Possivelmente, eu interpretei mal a expressão «o perdedor dobraria o que cada um dos outros tem».
Eu interpretei que, se alguém tem X, deverá receber, de quem perdeu, a quantia 2X ficando, pois, com 3X.
Se calhar, o que se pretende é mais simples: se alguém tem X, deverá receber, de quem perdeu a quantia X ficando, pois, com 2X.
(cont.)
Assim sendo, Nunormg ganhou o passatempo pois pedia-se a resolução algébrica, o que fez no comentário das 12h34m.
No entanto, atrasou-se, em relação a Manuel, na parte da verificação!
Assim, e como tenho a morada de Nunormg, peço apenas a Manuel que contacte sorumbatico@iol.pt,indicando morada.
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