Pergunta de algibeira (curiosidade aritmética)
Considere-se um número qualquer;
inverta-se a ordem dos seus algarismos, obtendo um novo número;
subtraia-se o menor do maior;
verifique-se que o "noves-fora" do resultado é zero.
Exemplo:
9876540-0456789=9419751
Desafiam-se os leitores a dar uma explicação (o mais simples possível) para o facto de isso ser verdade, seja qual for o número de partida.
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 09:00
11 Comments:
Admite-se como já demonstrado que:
1 - O "noves-fora" de um número é igual à soma dos seus algarismos; e que, quando essa soma ultrapassa 9, a regra se aplica a esse total.
2 - O "noves-fora" de uma soma é igual à soma dos "noves-fora" das parcelas.
Ora, tomando:
A - B = C os "noves fora" de A são iguais aos "noves fora" de B, uma vez que são constituídos pelos mesmos algarismos, embora pela ordem inversa.
Da segunda condição de CMR, os "noves fora" de uma soma é igual à soma dos "noves fora" das parcelas.
Então:
Se A - B = C implica que A = B + C
Logo os "noves fora" de C têm que ser igual a zero, pois que:
noves fora de A = noves fora de B (que é igual a noves fora de A) + noves fora de C (que tem que ser igual a zero)
J. Batista,
Exacto.
Essa é, ao que parece, a resposta mais simples.
Da última vez que coloquei esta questão a um "cientista" ele desatou a fazer contas espantosas com potências de 10, etc. e não conseguiu chegar a conclusão nenhuma...
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Mais duas considerações:
1 - Curiosidades como esta estão na base de muitos "jogos de salão", em que se adivinha um número (de preferência depois de se introduzirem mais algumas complicações desnecessárias).
2 - Preocupante é o facto muita gente com curso superior não saber fazer as "provas dos nove" nem sequer os "noves-fora", algo que dantes se aprendia na escola primária.
Prosseguindo:
Podemos ser levados a concluir que, à semelhança do que sucede com a soma, o "noves-fora" de uma subtracção seria igual à diferença dos "noves-fora" das parcelas.
Mas, se em certos casos isso é verdade, noutros não é:
223-5=218
neste caso é verdade (7-5=2).
55-44=11
neste caso, não é verdade
Porquê?
Pois, não é verdade, uma vez que achando os nove fora, no segundo caso, teríamos:
1 - 8 = 2 ou -7 = 2 o que é absurdo.
Considerando apenas o zero e os números inteiros positivos (não sei se se chama conjunto de números naturais "No", ou coisa assim, a minha matemática já vai longe...), ficamos impedidos de subtrair números maiores de números menores. No meu tempo da escola primária dizíamos que tendo apenas dois rebuçados num saco não podíamos tirar desse saco três ou mais rebuçados...
Eu creio que alguns "cientistas", como lhe chama, e sobretudo alguns economistas-políticos ou políticos-economistas, não terão feio bem a quarta classe ou então fizeram-na do mesmo modo que viriam a tirar as suas "licenciaturas"...
Alguns deles devem mesmo considerar-se sobredotados. E, de certo modo, são-no, porque... nós deixamos.
Ou são-no de modo absoluto, pelo menos na falta de vergonha de sair à rua.
Correção: ali atrás, "feito bem" e não "feio bem"
Julgo que a solução passa por postular (ou ter em conta) que as contas com "noves-fora" não podem usar números negativos. O que tem lógica, dado que o "noves-fora" é o resto da divisão do número por 9.
Quando isso suceder, será necessário adicionar 9 (que nesta operação é um número neutro, tal como o zero o é na adição).
Assim, e no exemplo que dei, o "noves-fora" de 55 não será 1 mas sim 10, pelo que teremos 10-8=2.
Aliás, artifícios semelhantes fazem-se em contas com graus e com tempos (quando é necessário subtrair um número de um outro menor).
Só para "arquivo", aqui fica a solução que eu tinha preparado para apresentar, mas que já tem pouco interesse pois é semelhante à de J. Batista:
Seja M o número maior
Seja m o número menor
Seja D a diferença, M-m
Seja [M] o "noves-fora" do número maior
Seja [m] o "noves-fora" do número menor
Seja [D] o "noves-fora" de M-m
Como, por definição, D=M-m
M=D+m
[M] = [D+m] = [D] + [m]
Logo,
[D] =[M] - [m]
O que significa:
O noves-fora do resultado é igual à diferença dos noves-fora das parcelas (*).
Ora, como estas são compostas pelos mesmos algarismos, o resultado é ZERO.
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(`) Tendo em conta, porém, a ressalva indicada no meu comentário anterior, em que se refere o caso de o resultado ser negativo.
Já agora, o "noves-fora" é uma igualdade "módulo 9" em matemática. Assim, temos por exemplo:
11 = 2 mod 9
o que quer dizer, 11 = 2 + n*9
onde n é um número inteiro (n=1) neste exemplo.
Assim, temos realmente que -7 = 2 mod 9 (n = -1), não podemos é usar o noves-fora de forma ingénua.
Claro que o truque de somar um 9 vem, no fundo, dar no mesmo.
E é normal que se aplique a graus, ou a tempos porque é exactamente o mesmo tipo de aritmética "circular".
Tiago,
Exacto!
Uma explicação "manhosa", voltando ao exemplo com o número 55:
Tudo se passa como se lhe fossemos retirando "noves":
Tirando um 9 ... 46
Tirando outro 9 ... 37
Tirando outro 9 ... 28
Tirando outro 9 ... 19
Tirando outro 9 ... 10
Como atrás se explicou, no caso da subtracção 55-44 temos de ficar por aqui, pois o "noves fora" de 44 é 8.
No caso geral (nas somas, etc), pode dar-se o passo seguinte, tirando mais um 9 e obtendo 1.
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