11.5.05

Puxando pela cabecinha...

COMO é que é possível alguém partir de um ponto, andar 1000 quilómetros para Sul, depois 1000 para Oeste e finalmente 1000 para Norte, acabando por se encontrar novamente no ponto de partida?

(Neste mapa está representado um exemplo de um ponto, A, que NÃO satisfaz as condições exigidas)

As pessoas normais dizem que é impossível, enquanto as mais inteligentes respondem que é possível, desde que o ponto de partida seja o Pólo Norte - o que é verdade.

Ora o problema é que, além do Pólo Norte, (pelo menos) mais um ponto no Globo que satisfaz essa condição.

QUAL É ELE?

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(As respostas foram dadas aqui em "Comentários", e um desenho explicativo foi metido em post no dia 12 Maio, às 22 h 05m).

11 Comments:

Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Na realidade, não há só mais «UM» ponto que satisfaz...

Por incrível que pareça, até há mais do que um.

11 de maio de 2005 às 20:01  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Quando se diz «1000 km», trata-se apenas de um exemplo.
A questão é válida para qualquer outro valor:

«Andar n km para Sul, n para Oeste e n para Norte - e encontrar-se novamente no ponto de partida».

11 de maio de 2005 às 21:54  
Blogger Pólux said...

Indivíduo sobre o Pólo Norte:
Caminha 1000 Km para sul, sobre um meridiano, como não podia deixar de ser (de notar que, embora exista em teoria somente um paralelo que dista 1000 Km do Pólo Norte, há uma infinidade de meridianos, pelo que tais caminhadas sobre meridianos são também infinitas). Do encontro destes círculos com o paralelo do lugar (o dos 1000 Km) , caminha então mais 1000 Km para Oeste. Do ponto encontrado caminha então para Norte, para o Pólo. Como todos os pontos do paralelo são equidistantes do Pólo Norte, existe, pois, uma infinidade de soluções.

Já quanto ao hemisfério Sul, a coisa parece piar mais fino. Tentei imaginar dois paralelos, distantes entre si 1000 Km. O nosso cavalheiro (ou dama) percorreria então, e mais uma vez, sobre uma infinidade de arcos de meridiano, 1000 Km para Sul. Mas não voltava ao ponto de partida. Penso, pois, que existe somente um paralelo a sul daquele de onde se verifica a partida, que obedece às condições. Esse paralelo terá que medir precisamente 1000 Km. Assim, o indivíduo, que está no paralelo a Norte deste último, desloca-se 1000 Km para Sul, e daqui percorre 1000 Km na direcção Oeste, regressando ao ponto de partida, como se fizera parte da viagem de circum-navegação (sorriso). Uma vez aqui (ponto de partida), só terá que seguir para Norte, ou seja, pelo mesmo caminho com que iniciou o percurso.
Lamento o português. Espero que se entenda, mas tenho a cabeça em água e os dedos rescendendo a laranja, pois não tenho globo terrestre (sorriso).

Com um abraço e votos de uma noite tranquila.

Pedro Couto
(Pólux)

12 de maio de 2005 às 02:24  
Blogger zxcv said...

Basta que o ponto de partida, A, diste 1000 Km a Norte (sobre um meridiano, naturalmente) de um paralelo de perímetro 1000 Km. De facto, andando 1000 Km para Sul a partir de A atinge-se um ponto B deste paralelo e, após andar 1000 Km para Oeste – ou para Este – (sobre tal paralelo, é claro) volta-se a B. Em seguida, andando 1000 Km para Norte (sobre o meridiano inicial), regressa-se ao ponto de partida, A.

Há uma "dupla infinidade" de pontos A nestas condições: os pontos dos dois paralelos situados 1000 Km a Norte dos paralelos de perímetro 1000 Km, um no hemisfério Norte, outro no hemisfério Sul (existem tais paralelos pois o perímetro do equador é maior, muito maior, do que 1000 Km).

Observação: o raciocínio pressupõe a Terra esférica, o que é falso!

12 de maio de 2005 às 04:38  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Caro Pólux:

No seu raciocínio, encontra, é claro, infinitas soluções, mas todas elas a partir do Pólo Norte.
Eu talvez não tenha explicado bem:
O que pergunto é quais são os outros pontos "A", DE PARTIDA SEM SER O PÓLO NORTE.

(Veja a resposta a seguir á sua - quente... quente...)

12 de maio de 2005 às 09:49  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Caro Pólux,

Desculpe, mas eu ainda estava a dormir quando li a sua resposta!

É que a segunda parte está certa!!

O paralelo que está 1000 km a norte de um outro com 1000 km de perímetro é o lugar-geométrico de pontos "A" que satisfazem a condição.

O PROBLEMA É QUE HÁ AINDA MAIS CASOS!!!

E esta?!

12 de maio de 2005 às 10:30  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Caro amigo "zxcv":

Certíssimo, mas há AINDA MAIS FAMÍLIAS DE SOLUÇÕES...

12 de maio de 2005 às 10:33  
Anonymous zxcv said...

Estou bem arranjado! Não encontro mais nenhuma solução!

Exceptuando o pólo Norte e os pontos dos meridianos antes referidos como pontos de partida, parece que a única maneira de realizar o percurso pedido é descrever um triângulo esférico equilátero ABC, o que poderia fazer de 'infinitas maneiras', não fora haver as restrições de orientação impostas: o lado AB tem que se conter num meridiano que passe pelos pólos e o mesmo sucede com o lado CA. Assim, só existe um tal triângulo bom: o que tem o vértice A coincidente com o pólo Norte, ponto esse já fora de questão.
Que charada!

Será que o movimento de rotação da Terra é para aqui chamado e possamos 'andar parados'?
A ser assim, o problema pode solucionar-se de outro modo e terá muitas, mesmo muitas, soluções, a saber: todos os pontos que distam pelo menos 1000 Km do pólo Sul. Como? Basta que partamos de um tal ponto, A, caminhemos 1000 Km para Sul, 'estacionemos' num ponto B, aguardemos aí o tempo necessário para que a Terra nos arraste 1000 Km no seu movimento de rotação (tal tempo de espera varia com o ponto B, naturalmente) e depois façamos o inverso do trajecto inicial, para regressar a A.

Esta resposta é pouco ortodoxa, mas em charadas tudo é possível!

12 de maio de 2005 às 18:10  
Anonymous Anónimo said...

Quando quiserem, indico a resposta que falta (pois já aqui foram dadas várias certas).

A mais próxima é esta:

«O paralelo que está 1000 km a Norte de um outro com 1000 km de perímetro é o lugar-geométrico de pontos "A" que satisfazem a condição».

Mas, como digo, há uma outra, muito parecida - É essa que falta.

12 de maio de 2005 às 18:51  
Anonymous zxcv said...

Penso que acabei de encontrar mais uma 'grande infinidade' de pontos que satisfazem a questão, a acrescentar aos dos dois pararelos do comentário das 4:38 AM:

.todos os pontos do paralelo 1000 Km a Norte do paralelo de perímetro 500 Km (a justificação é similar à feita para o paralelo de perímetro 1000 Km, só que em vez de 1 se devem dar 2 voltas para regressar ao ponto B);

.todos os pontos do paralelo 1000 Km a Norte do paralelo de perímetro 250 Km (a justificação é similar à do paralelo de perímetro 1000 Km, só que em vez de 1 se devem dar 4 voltas para regressar ao ponto B);

.todos os pontos do paralelo 1000 Km a Norte do paralelo de perímetro (1000:(2^n)) Km (a justificação é similar à do paralelo de perímetro 1000 Km, só que em vez de 1 se devem dar 2^n voltas para regressar ao ponto B -- n designa um número inteiro positivo qualquer);
...

Nota: Estes paralelos, lugares geométricos de pontos solução, são do hemisfério Sul.

12 de maio de 2005 às 21:04  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Caro "zxcv":

BINGO!!!

CMR

12 de maio de 2005 às 22:04  

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