«O jogo dos 3 cowboys» - Um problema de probabilidades

Nota prévia (CMR): Este post, aqui afixado em 14 de Maio de 2008, está fora da sua ordem cronológica, mas foi a forma arranjada para afixar um problema (e respectiva solução) proposto pelo leitor Luís Benito em comentário à crónica de Nuno Crato «Paradoxos das probabilidades»:

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Quando li o interessante artigo de Nuno Crato lembrei-me de outro curioso problema relacionado com o tema. O problema é muito antigo e foi publicado por Martin Gardner no Scientific American, em 1938.

Trata-se do jogo dos 3 cowboys.
3 atiradores de habilidade diferente, a que chamaremos A,B e C, defrontam-se num combate de pistola, posicionando-se nos vértices de um triângulo equilátero. Mas este jogo tem a particularidade que cada um atira à vez, e não ao mesmo tempo ou quando quer. Cada atirador pode escolher o seu alvo (ou atirar para o ar se quiser).
Contudo, sabemos que o atirador A quando atira acerta sempre (tem 100% de precisão no tiro). O B é muito bom mas só atinge o alvo em 80% dos casos; e o C é tanso e só acerta em 50 por cento.
O problema consiste em encontrar a melhor estratégia de cada atirador e, considerando que cada um usa a melhor estratégia, determinar quais as possibilidades de sobrevivência de cada cowboy.

É curioso que paradoxalmente não é o melhor atirador que tem mais hipótese de sobreviver, mas sim o tanso C, porque as melhores estratégias dos adversários passam por primeiramente se eliminarem um ao outro.
Aqui fica o desafio para os leitores do Sorumbático.

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A resposta ao problema é de alguma forma surpreendente. É o atirador C que tem mais probabilidades de sobreviver. As melhores estratégias de A e B são tentarem eliminar o mais depressa possível o adversário mais perigoso. Assim A deve tentar eliminar primeiro B e este deve eliminar A. Quanto ao C, tanto faz que no primeiro tiro ele dispare para o ar ou para um dos adversários. Só entra realmente em jogo quando A ou B matarem B ou A. O problema é mais facilmente entendido recorrendo a uma árvore do jogo (ver figura). Foram retirados os “ramos” desnecessários com as piores estratégias de C. Como já foi afirmado podemos até pensar que se C dispara primeiro, pode fazê-lo para o ar. O cálculo deve considerar apenas os ramos que reflectem as melhores estratégias. Portanto no primeiro ramo A dispara para B e elimina-o. Depois dispara C. Se C elimina A (50%) o ramo da árvore termina. Se não, então A no passo seguinte mata C. E os restantes caminhos são ilustrados pelos outros ramos da árvore. Possibilidade de sobrevivência de A: para o primeiro caminho = ½ x 1 x ½ x 1 = ¼ , para o segundo caminho = ½ x 1/5 x 1 x ½ x 1 = 1/20 , ¼ + 1/20 = 3/10 para o total. O desgraçado do atirador de elite afinal só tem 30% de probabilidades de sobreviver! Fazendo os cálculos para B e C, temos: B = 8/45 (18%) e C = 52%. (adaptado de revista Jeux&Stratégie nº 3, Jun/Jul 1980)