Paradoxos das probabilidades
Por Nuno Crato
A MARIA E O JOÃO TÊM DOIS FILHOS. O mais velho é um rapaz e chama-se Joaquim. Qual é a probabilidade de o casal ter dois filhos de sexos diferentes?
A pergunta parece ridícula dada a sua simplicidade. Se admitirmos que a hipótese de nascer um rapaz é tão viável como a de nascer uma rapariga, se admitirmos ainda que nada depende do sexo do bebé anteriormente nascido, então não há dúvida que a probabilidade de o segundo filho ser rapariga, portanto de sexo diferente do primeiro, é 1/2. E é essa a resposta: 1/2. Simples, não?
Mas consideremos agora outro casal, a Josefina e o José, que também têm dois e só dois descendentes. Sabemos que um dos filhos é rapaz e pergunta-se: qual é a probabilidade de este casal ter dois filhos de sexos diferentes?
Embalados pelo sucesso anterior, diremos que a probabilidade é 1/2. E nada mais haveria a dizer. Só que, surpreendentemente, esta resposta está errada. O valor correcto é 2/3.
Na realidade, tendo dois filhos, se designarmos por M um descendente do sexo masculino e por F um do sexo feminino, sabemos que a Josefina e o José podem ter tido como descendentes um par de rapazes (M,M), um par de raparigas (F,F), um rapaz e depois uma rapariga (M,F) ou uma rapariga e depois um rapaz (F,M). A única coisa que sabemos é que um dos dois descendentes da Josefina e do José é do sexo masculino, portanto que o caso (F,F) está fora de hipótese. Dos três restantes, que são equiprováveis, há dois — (M,F) e (F,M) — em que os sexos são diferentes. Então a probabilidade é 2/3.
Custa a crer, não custa? É por isso que o paradoxo é engraçado. Precisamos de pensar um bocadinho para o percebermos.
«Passeio Aleatório» - «Expresso» de 10 Mai 08
-
NOTA (CMR): Chama-se a atenção para o comentário-1, onde Luís Bonito nos propõe um curioso problema de probabilidades. Actualização: ainda sobre este problema, ver o link indicado no comentário-3.
Etiquetas: NC
Afixado por: Nuno Crato às 08:27
4 Comments:
Quando li o interessante artigo de Nuno Crato lembrei-me de outro curioso problema relacionado com o tema.
O problema é muito antigo e foi publicado por Martin Gardner no Scientific American, em 1938.
Trata-se do jogo dos 3 cowboys.
3 atiradores de habilidade diferente, a que chamaremos A,B e C, defrontam-se num combate de pistola, posicionando-se nos vértices de um triângulo equilátero. Este jogo tem a particularidade que cada um atira à vez, e não ao mesmo tempo ou quando quer. Cada atirador pode escolher o seu alvo (ou atirar para o ar se quiser).
Contudo, sabemos que o atirador A quando atira acerta sempre (tem 100% de precisão no tiro). O B é muito bom mas só atinge o alvo em 80% dos casos; e o C é tanso e só acerta em 50 por cento.
O problema consiste em encontrar a melhor estratégia de cada atirador e, considerando que cada um usa a melhor estratégia, determinar quais as possibilidades de sobrevivência de cada cowboy.
É curioso que paradoxalmente não é o melhor atirador que tem mais hipótese de sobreviver, mas sim o tanso C, porque as melhores estratégias dos adversários passam por primeiramente se eliminarem um ao outro.
Aqui fica o desafio para os leitores do Sorumbático tentarem resolver.
A ordem por que cada um deles atira pode ser importante, mas a estratégia é a mesma. Se começa A, atira sobre B, que não sobrevive; segue-se C que tem 50/50. Se começa B, atira sobre A e fica com 80% de probabilidades de sobreviver, ficando a zero se se seguir A ou 50% se for C. Se começar C a melhor solução é atirar para o ar, de modo que um dos outros atire ao adversário mais perigoso e ficando ele próprio com 50% de probabilidades de sobreviver.
Dado que se tornou necessário afixar uma figura e um texto longo, remetem-se os interessados neste problema para um outro post - [ver aqui].
Para evitar que uma eventual discussão do problema fique repartida entre 2 posts diferentes (e, portanto, difícil de acompanhar), sugere-se que ela prossiga aqui, neste de Nuno Crato.
Não vejo nenhum paradoxo no caso do sexo dos filhos, vejo sim um sofisma.
A probabilidade de 2/3 diz respeito à possibilidade do arranjo ser rapaz/rapariga mais a de ser rapariga/rapaz, agora sabendo que um é rapaz a probabilidade do outro ser rapariga continua a ser 1/2, na questão do sexo os dois pares não podem ser admitidos uma vez o rapaz não pode ser simultaneamente o mais novo e o mais velho.
Enviar um comentário
<< Home