8.5.08

O SEMPRE ATENTO Luís Bonito propõe aos leitores do Sorumbático o seguinte problema:
Vamos supor que a Terra é uma esfera perfeita e que colocamos um fio a toda a volta do Equador, sem deixar folga. Em seguida, imagine-se esse fio acrescentado de um metro, e novamente colocado à latitude 0º, mas distribuindo a folga uniformemente, a toda a volta. Pergunta-se: de entre os animais que adiante se indicam, quais conseguiriam passar por baixo do fio, sem lhe tocar - uma formiga, um rato, um elefante?
A resposta, a afixar em comentário (mas apenas a partir das 12h00m de 9 de Maio) deverá ser acompanhada de uma justificação matemática, mas sem recurso ao valor do perímetro do equador terrestre (que, por sinal, é cerca de 40.075 km) - até porque, como se verá, a resposta é independente do planeta considerado. Dado que o problema é muito simples, o prémio (a atribuir ao primeiro leitor que der a resposta certa) será o livro infanto-juvenil cuja capa aqui se vê - e que foi escolhido devido a uma associação de ideias: é que a linha do Equador atravessa o estuário do Amazonas.
Actualização: o passatempo foi ganho por Luís Bonifácio, a quem o prémio já foi enviado.

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11 Comments:

Blogger Luís Bonifácio said...

Sendo
P1= Perímetro da Terra
P2= P1 + 1
D1= Diâmetro da Terra
D2= Diâmetro resultante de P2
pi=Pí

Da formulação temos que
P1 = pi x D1
P2 = pi x D2
P2 = P1 + 1

resolvendo vem:

pi x D2 = P1 + 1
pi x D2 = pi x D1 + 1
D2 = (pi x D1 + 1)/ pi
D2 = (pi x D1)/ pi + 1/pi
D2= D1 + 1/pi
D2 = D1 + 0.318 m

Concluindo:
Ao alargarmos o Perímetro da terra em 1 metro (ou qualquer outra esfera), o seu diâmetro aumenta em 31.8 centímetros, permitindo a passagem de uma formiga, um rato, mas não um elefante

9 de maio de 2008 às 12:00  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Certo.

NOTA 1: Embora o resultado seja, evidentemente, o mesmo, convém realçar o aumento do raio (em vez do diâmetro), salientando que o novo fio fica cerca de 16cm acima do chão.

NOTA 2: Já agora, uma outra abordagem, feita em termos de 'diferenciais' (onde está 'd', o ideal era estar 'delta'):

P=2.pi.R

R=P/(2.pi)

dR=dP/(2.pi)

Sendo dP=100cm

dR=100/6,28=~16cm

9 de maio de 2008 às 12:31  
Blogger vieiradospneus said...

Que raio de contas são essas? Ora pensem bem na enormidade que estão a dizer!

9 de maio de 2008 às 14:01  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

(Vamos lá ver se os símbolos do ‘delta’ e do ‘pi’ aparecem):

P=2ΠR

R=P/2Π

∆R=∆P/2Π

Sendo ∆P=100cm:

∆R =16cm (aprox.)

9 de maio de 2008 às 14:43  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

vieiradospneus,

Na realidade, no texto de Luís Bonifácio há uma 'gralha', onde se diz «Ao alargarmos o Perímetro da terra em 1 metro...»

Claro que não é o perímetro da Terra que aumenta, mas sim o comprimento (perímetro) do fio.
Mas, tendo em conta tudo o resto que ele escreveu, entendo isso como uma gralha.

-

Se a sua observação se refere a isso, tem razão.

Se a "enormidade" que detectou é outra, agradecemos que diga qual é e, eventualmente, a corrija. Receberá um prémio com o dobro do valor do que foi atribuído a Luís Bonifácio.

9 de maio de 2008 às 15:37  
Anonymous Anónimo said...

O problema já deve ser do tempo do Arquimedes!

Eu conhecia-o com um "gato" que, de facto, conseguia (com jeitinho...) passar nos 16cm vagos entre a Terra e o fio (depois de acrescentado com 1 metro).

9 de maio de 2008 às 17:40  
Blogger vieiradospneus said...

Tenho que "alargar" aplicado a perímetros de circunferências ou outras superfícies planas não é o mesmo que "alongar". De resto nada há a dizer uma vez que o alongamento é constante e o valor de pi também.

9 de maio de 2008 às 18:40  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Mendonça,

Sim, o problema deve ser do tempo da Grécia Antiga e tem várias abordagens que, logicamente, conduzem ao mesmo resultado:

Assim que se aprende o «dois-pi-erre», o problema é resolvido com recurso ao cálculo dos perímetros.

Quando se aprende cálculo diferencial, passa a poder ser resolvido (porventura mais facilmente) através dos 'dx' (ou, como se refere, dos ∆).

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A curiosidade adicional aparece quando se 'descobre' que o resultado é independente do valor inicial e só depende do incremento do perímetro.

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Obrigado a todos!

9 de maio de 2008 às 18:54  
Blogger R. da Cunha said...

Desculpem lá e não sei se venho a tempo. Mas o resultado apresentado pelo vencedor não me parece correcto. Refere 31,8 cm, quando são, na verdade, cerca de 15,9 cm., ou 16 cm., como diz o C. Medina Ribeiro.

9 de maio de 2008 às 22:24  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Sim, eu anotei isso no comentário das 12h31m, quando chamei a atenção que L.Bonifácio tinha dado a resposta do "aumento do diâmetro" em vez do "aumento do raio", que seria mais apropriado para o que se pretendia saber.

De qualquer forma, como ele deu o valor correcto para esse "aumento do diâmetro", resolvi aceitar a resposta, colocando a observação.

9 de maio de 2008 às 23:58  
Blogger R. da Cunha said...

Agradeço o comentário ao comentário e aceito.

9 de maio de 2008 às 23:59  

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