Não é normal...
Por Nuno CratoNÃO, OS MERCADOS FINANCEIROS não são normais. Muito longe disso. Têm um comportamento bastante excêntrico — ao qual, aliás, já devíamos estar habituados. Ou seja, deveríamos achar normal observar resultados dramáticos.
O melhor é explicarmo-nos. Se lançarmos uma moeda equilibrada ao ar e registarmos ‘zero’ sempre que sair caras e ‘um’ sempre que sair coroas, estamos a fazer uma experiência aleatória em que cada um dos números ‘zero’ e ‘um’ aparecem com probabilidade 1/2. Estas probabilidades, 1/2 para zero e 1/2 para um, determinam completamente a chamada distribuição de probabilidade associada a essa experiência. E essa distribuição particular tem um nome, diz-se que é uma distribuição de Bernoulli.
Há muitas outras distribuições de probabilidades associadas a experiências aleatórias. Uma das mais estudadas é a distribuição de probabilidades normal, ou de Gauss, que é bem conhecida visualmente pela sua forma gráfica de sino com abas. Quem estuda um pouco de probabilidades habitua-se a ver tão frequentemente esta distribuição de que percebe o nome «normal» que se lhe dá. Mas este nome é enganador, pois há situações em que não é natural nem possível usar a distribuição de Gauss.
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Afixado por: Nuno Crato às 13:37
4 Comments:
Gostava de comentar um aspecto que me foi suscitado pela referência de Nuno Crato à distribuição de Bernoulli. Cito :
Se registarmos ‘zero’ sempre que sair caras e ‘um’ sempre que sair coroas, estamos a fazer uma experiência aleatória em que cada um dos números ‘zero’ e ‘um’ aparecem com probabilidade 1/2. Estas probabilidades, 1/2 para zero e 1/2 para um, determinam completamente a chamada distribuição de probabilidade associada a essa experiência. E essa distribuição particular tem um nome, diz-se que é uma distribuição de Bernoulli.
Sucede que esta abordagem, embora muito frequente na literatura, não é, em minha opinião, a mais correcta. O que vou escrever pode parecer um preciosismo, mas quando tive de explicar probabilidades a filhos e até mesmo a amigos de outras especialidades mais avessas à Matemática, percebi que não era.
A distribuição de Bernoulli resulta da repetição da chamada “prova de Bernoulli”, que é uma experiência singular com dois resultados possíveis relativamente à observação de um dado acontecimento, resultados esses a que chamamos “sucesso” e “insucesso”. Se o sucesso tiver uma probabilidade p, o insucesso terá uma probabilidade (1-p).
No caso de uma moeda, a prova de Bernoulli é um lançamento da moeda. Sucesso e insucesso é o acontecimento que quisermos. Pode ser a saída de caras ou a de coroas. Se a moeda for equilibrada a probabilidade de sair caras é 1/2, tal como a de sair coroas.
No caso de um dado o sucesso pode ser, por exemplo, a saída de um rei. Num dado equilibrado a saída de qualquer figura é equiprovável, pelo que a probabilidade de sair rei (sucesso) é de 1/6 e a de não sair rei (insucesso) é de 5/6.
Se definirmos uma variável X para contar o “número de sucessos” numa prova de Bernoulli, essa variável, independentemente da probabilidade do sucesso ser 1/2 ou 1/6 ou outro valor qualquer (entre zero e um naturalmente), só pode ter dois valores : ou X=1 se acontecer o sucesso, ou X=0 se acontecer o insucesso.
No lançamento de uma moeda, associar o “zero” à saída de caras e o “um” à saída de coroas não é uma escolha arbitrária ou de conveniência. É aqui que reside o busílis da questão. Se o fosse, poderíamos, por hipótese, associar quaisquer outros números à saída de caras e de coroas. Mas não podemos, porque o que está em causa na distribuição de Bernoulli é a contagem de sucessos num certo conjunto de provas repetidas.
Por isso, associar o “zero” à saída de caras e o “um” à saída de coroas, significa que, implicitamente, associámos o insucesso à saída de caras e o sucesso à saída de coroas.
Tendo isto presente, é mais fácil abordar a Distribuição de Bernoulli, tornando-se intuitivo que a probabilidade de obter um certo número de sucessos num determinado número de repetições da prova de Bernoulli é dada por uma expressão binomial, a do “velho” binómio de Newton.
Meu caro,
Muito obrigado pela sugestão. No caso concreto não estava preocupado em classificar sucessos e insucessos. Habitualmente chama-se distribuição de Bernoulli à de uma experiência de Bernoulli e Binomial à de experiências de Bernoulli repetidas. Segui apenas esse hábito.
Caro Prof.
Tem razão quanto à terminologia : à “prova de Bernoulli” corresponde a Distribuição de Bernoulli e às “provas repetidas de Bernoulli” é que corresponde a Distribuição Binomial. Penalizo-me pela confusão que possa ter lançado nos leitores.
Todavia, o essencial da minha intervenção mantem-se, na medida em que a intenção era chamar a atenção para a forma, que considero pouco recomendável, como, em aulas e nalguma literatura, se atribui o “zero” e o “um” à saída de caras e coroas, ou vice versa, no lançamento de uma moeda.
Trata-se, de facto, de uma contagem de sucessos e insucessos e não de uma designação de conveniência, como erradamente um não iniciado pode ser levado a pensar. Espero ter sido mais claro agora.
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