A propósito de «Magia dos Números»...
AO PRIMEIRO leitor que der a resposta correcta (que terá de ser acompanhada, evidentemente, da respectiva justificação algébrica) será atribuído, como prémio, um livro da autoria do saudoso Inspector Varatojo.NOTA: Se a solução tardar, será proposta uma variante, mais simples, que também dará direito a prémio e funcionará como 'dica' para a resolução do problema tal como aqui é apresentado.
Actualização (21h40m): o passatempo terminou - ver comentário das 21h36m (e seguintes) e link indicado, com a resolução 100% algébrica.
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 16:57
19 Comments:
Propõe-se, para uniformização, as seguintes letras:
A .. número de objectos comprados por João
B .. número de objectos comprados por José
C .. número de objectos comprados por Marta
D .. número de objectos comprados por Júlia
57?
No problema, pergunta-se quanto gastou cada casal.
Mas seria melhor perguntar quanto gastou cada pessoa.
Sofia,
A resposta tem de ser acompanhada pelas contas que foram feitas para lá chegar.
Além disso, como há 4 pessoas (vamos esquecer o facto de serem "casais"), a solução tem de ter 4 números. (Adianto que nenhum deles é 57).
1.ª 'dica':
Os casais são:
José com Marta
João com Júlia
Com a 'dica' das 17h57m, dei resposta a uma pergunta suplementar que o problema tem implícita: «Qual a composição dos casais?»
Não me parece que seja necessário dar a resposta individualmente. Para isso falta uma equação, certo? Para os casais acho que é possível. Vou tentar resolver...
Ruiaf,
Força!
--
NOTA: o problema tem os dados necessários para, se se quiser, obter as respostas às 3 perguntas:
Quanto gastou cada pessoa?
Qual a composição dos casais?
Quanto gastou cada casal?
Nova 'dica':
Começar por ter em atenção, apenas as compras de José e João.
Tendo em conta o que se diz no 2.º parágrafo (preços unitários e quantidades), e também que «João gastou mais 23$00 do que José», é logo possível, com um pequeno cálculo, saber quanto gastou cada um deles.
___
Isso permite que se passe, depois, à 2ª fase do problema (as compras de Marta e Júlia)
NOTA:
Se for preciso escrever, p. ex., "x ao quadrado" (o que aqui em comentário não é fácil), escrever-se-á
x^2
Não sei se raciocinei bem, mas pelas minhas contas o casal João e Júlia gastaram 25$ e o casal José e Marta gastaram 82$. pode-me dizer se está correcto, sff?
Isto é uma brincadeira de quadrados perfeitos.
Ora, escrevendo os quadrados perfeitos:
1
4
9
12
25
36
49
64
81
100
121
144
169
Não é preciso ir mais adiante pois as diferenças apenas continuam a aumentar.
Entre 144 e 121 vai uma diferença de 13.
Logo, João comprou 12 peças a 12 escudos e José 11 peças a 11 escudos.
Agora é preciso pegar no valor de 12^2 para começar a subtrair 80.
144-80 = 64
169-80 = 79
196-80 = 116
Bem, logicamente, teremos que a Marta comprou 12 objectos a 12 escudos e a Júlia 8 objectos a 8 escudos.
Os gastos foram:
João - 144 escudos
José - 121 escudos
Marta - 144 escudos
Júlia - 64 escudos
Agora, isto é tudo na base de conhecer os quadrados perfeitos desde o sexto ano.
Se calhar a solução pedida é diferente, portanto continuem a tentar.
Errata:
Onde diz "Entre 144 e 121 vai uma diferença de 13." deve ler-se "Entre 144 e 121 vai uma diferença de 23."
Onde digo "Agora é preciso pegar no valor de 12^2 para começar a subtrair 80." digo-o porque se a Marta gastou mais que o marido, terá de ter gasto pelo menos 12^2 (mais do que José) ou 13^2 (mais do que João).
Ia eu a começar a escrever este comentário quando reparei que já estavam dadas respostas que penso estarem certas.
Mas também ia referir que os meus "cálculos algébricos" foram feitos numa folha de excel, numa tabela com os quadrados duma contagem na primeira linha e primeira coluna e preenchida com as diferenças em cada célula. Procurei o número 23 e depois o 80 numa linha equivalente a um número de objectos menor que o do respectivo marido. E deu o mesmo resultado do comentário anterior.
É claro que não conto com esta minha justificação como algébrica. Mais como desenrascadébrica.
Antes de mais, diga-se que vou dar o passatempo por terminado, atribuindo o prémio a Carlos Antunes, que deu a resposta certa.
Mas faço os seguintes comentários:
Embora no que toca exclusivamente ao resultado a resposta esteja 100% certa, o Carlos chegou a ela por um processo não-algébrico:
Fez os quadrados dos números 1 a 13, procurou entre eles o par que satisfazia a condição "diferença = 23", etc.
Nestes problemas de almanaque, por vezes é isso mesmo que se pretende, mas eu pedia uma abordagem em termos algébricos, com recurso a equações. Até porque podem surgir soluções inesperadas, o que sucede neste caso: a certa altura, aparecem 5 soluções possíveis (!!), que é preciso analisar com cuidado.
Bem... mas o melhor é ver [AQUI].
--
Obrigado a todos!
Sepúlveda,
Como digo, por vezes estes problemas são pensados para uma resolução "por tentativas" ou "a olho".
Isso está muito bem quando o nº de hipóteses é baixo, mas, para não estarmos dependentes dessas limitações, temos de ir mais longe, o que só se consegue com abordagem 100% algébrica (equações).
Este problema tem várias curiosidades adicionais:
1.- A conversão da diferença de quadrados
(A^2)-(B^2)
em
(A-B)x(A+B)
2. - A análise das 5 soluções que aparecem quase no fim.
3.- A identificação dos casais.
Repare-se nesta curiosidade:
Embora a resposta certa para Marta e Júlia acabe por ser
Marta..12x12$=144$
e
Júlia..8x8$=64$
a resolução das equações dá-nos 5 respostas, à 1ª vista possíveis.
Depois de descartadas as duas que dão resultados fraccionários, ainda ficam duas que satisfazem a condição da diferença
Marta-Júlia=80$
São elas:
Marta..9x9$=81$
e
Júlia..1x1$=1$
__
Marta..21x21$=441$
e
Júlia..19x19$=361$
Só as considerações feitas no enunciado do problema é que permitem, depois, afastá-las.
Já estamos há muito tempo sem passatempos :P
Boa noite!
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