23.3.09

A propósito de «Magia dos Números»...

AO PRIMEIRO leitor que der a resposta correcta (que terá de ser acompanhada, evidentemente, da respectiva justificação algébrica) será atribuído, como prémio, um livro da autoria do saudoso Inspector Varatojo.
NOTA: Se a solução tardar, será proposta uma variante, mais simples, que também dará direito a prémio e funcionará como 'dica' para a resolução do problema tal como aqui é apresentado.
Actualização (21h40m): o passatempo terminou - ver comentário das 21h36m (e seguintes) e link indicado, com a resolução 100% algébrica.

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19 Comments:

Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Propõe-se, para uniformização, as seguintes letras:

A .. número de objectos comprados por João

B .. número de objectos comprados por José

C .. número de objectos comprados por Marta

D .. número de objectos comprados por Júlia

23 de março de 2009 às 17:13  
Blogger Sofia said...

57?

23 de março de 2009 às 17:46  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

No problema, pergunta-se quanto gastou cada casal.
Mas seria melhor perguntar quanto gastou cada pessoa.

23 de março de 2009 às 17:47  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Sofia,

A resposta tem de ser acompanhada pelas contas que foram feitas para lá chegar.

Além disso, como há 4 pessoas (vamos esquecer o facto de serem "casais"), a solução tem de ter 4 números. (Adianto que nenhum deles é 57).

23 de março de 2009 às 17:50  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

1.ª 'dica':

Os casais são:

José com Marta
João com Júlia

23 de março de 2009 às 17:57  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Com a 'dica' das 17h57m, dei resposta a uma pergunta suplementar que o problema tem implícita: «Qual a composição dos casais?»

23 de março de 2009 às 18:12  
Blogger ruiaf said...

Não me parece que seja necessário dar a resposta individualmente. Para isso falta uma equação, certo? Para os casais acho que é possível. Vou tentar resolver...

23 de março de 2009 às 18:17  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Ruiaf,

Força!

--

NOTA: o problema tem os dados necessários para, se se quiser, obter as respostas às 3 perguntas:

Quanto gastou cada pessoa?
Qual a composição dos casais?
Quanto gastou cada casal?

23 de março de 2009 às 18:22  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Nova 'dica':

Começar por ter em atenção, apenas as compras de José e João.

Tendo em conta o que se diz no 2.º parágrafo (preços unitários e quantidades), e também que «João gastou mais 23$00 do que José», é logo possível, com um pequeno cálculo, saber quanto gastou cada um deles.

___

Isso permite que se passe, depois, à 2ª fase do problema (as compras de Marta e Júlia)

23 de março de 2009 às 18:36  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

NOTA:

Se for preciso escrever, p. ex., "x ao quadrado" (o que aqui em comentário não é fácil), escrever-se-á

x^2

23 de março de 2009 às 18:45  
Blogger Joana said...

Não sei se raciocinei bem, mas pelas minhas contas o casal João e Júlia gastaram 25$ e o casal José e Marta gastaram 82$. pode-me dizer se está correcto, sff?

23 de março de 2009 às 18:47  
Blogger Carlos Antunes said...

Isto é uma brincadeira de quadrados perfeitos.
Ora, escrevendo os quadrados perfeitos:

1
4
9
12
25
36
49
64
81
100
121
144
169

Não é preciso ir mais adiante pois as diferenças apenas continuam a aumentar.
Entre 144 e 121 vai uma diferença de 13.
Logo, João comprou 12 peças a 12 escudos e José 11 peças a 11 escudos.

Agora é preciso pegar no valor de 12^2 para começar a subtrair 80.

144-80 = 64
169-80 = 79
196-80 = 116

Bem, logicamente, teremos que a Marta comprou 12 objectos a 12 escudos e a Júlia 8 objectos a 8 escudos.

Os gastos foram:

João - 144 escudos
José - 121 escudos
Marta - 144 escudos
Júlia - 64 escudos


Agora, isto é tudo na base de conhecer os quadrados perfeitos desde o sexto ano.
Se calhar a solução pedida é diferente, portanto continuem a tentar.

23 de março de 2009 às 18:51  
Blogger Carlos Antunes said...

Errata:

Onde diz "Entre 144 e 121 vai uma diferença de 13." deve ler-se "Entre 144 e 121 vai uma diferença de 23."

23 de março de 2009 às 18:52  
Blogger Carlos Antunes said...

Onde digo "Agora é preciso pegar no valor de 12^2 para começar a subtrair 80." digo-o porque se a Marta gastou mais que o marido, terá de ter gasto pelo menos 12^2 (mais do que José) ou 13^2 (mais do que João).

23 de março de 2009 às 18:54  
Blogger Sepúlveda said...

Ia eu a começar a escrever este comentário quando reparei que já estavam dadas respostas que penso estarem certas.
Mas também ia referir que os meus "cálculos algébricos" foram feitos numa folha de excel, numa tabela com os quadrados duma contagem na primeira linha e primeira coluna e preenchida com as diferenças em cada célula. Procurei o número 23 e depois o 80 numa linha equivalente a um número de objectos menor que o do respectivo marido. E deu o mesmo resultado do comentário anterior.
É claro que não conto com esta minha justificação como algébrica. Mais como desenrascadébrica.

23 de março de 2009 às 19:06  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Antes de mais, diga-se que vou dar o passatempo por terminado, atribuindo o prémio a Carlos Antunes, que deu a resposta certa.

Mas faço os seguintes comentários:

Embora no que toca exclusivamente ao resultado a resposta esteja 100% certa, o Carlos chegou a ela por um processo não-algébrico:
Fez os quadrados dos números 1 a 13, procurou entre eles o par que satisfazia a condição "diferença = 23", etc.

Nestes problemas de almanaque, por vezes é isso mesmo que se pretende, mas eu pedia uma abordagem em termos algébricos, com recurso a equações. Até porque podem surgir soluções inesperadas, o que sucede neste caso: a certa altura, aparecem 5 soluções possíveis (!!), que é preciso analisar com cuidado.

Bem... mas o melhor é ver [AQUI].

--

Obrigado a todos!

23 de março de 2009 às 21:36  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Sepúlveda,

Como digo, por vezes estes problemas são pensados para uma resolução "por tentativas" ou "a olho".

Isso está muito bem quando o nº de hipóteses é baixo, mas, para não estarmos dependentes dessas limitações, temos de ir mais longe, o que só se consegue com abordagem 100% algébrica (equações).

Este problema tem várias curiosidades adicionais:

1.- A conversão da diferença de quadrados
(A^2)-(B^2)
em
(A-B)x(A+B)

2. - A análise das 5 soluções que aparecem quase no fim.

3.- A identificação dos casais.

23 de março de 2009 às 21:55  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Repare-se nesta curiosidade:

Embora a resposta certa para Marta e Júlia acabe por ser

Marta..12x12$=144$
e
Júlia..8x8$=64$

a resolução das equações dá-nos 5 respostas, à 1ª vista possíveis.
Depois de descartadas as duas que dão resultados fraccionários, ainda ficam duas que satisfazem a condição da diferença

Marta-Júlia=80$

São elas:

Marta..9x9$=81$
e
Júlia..1x1$=1$
__

Marta..21x21$=441$
e
Júlia..19x19$=361$

Só as considerações feitas no enunciado do problema é que permitem, depois, afastá-las.

24 de março de 2009 às 11:48  
Blogger Nuno said...

Já estamos há muito tempo sem passatempos :P

Boa noite!

25 de março de 2009 às 20:49  

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