A sugestão de Nuno Crato
QUEM o conheça pode não achar estranho. Mas quando John Horton Conway esteve entre nós, iniciou uma das suas palestras matemáticas de uma forma pouco convencional: dirigiu-se ao quadro e começou a desenhar uma rede de pontinhos.
Depois disse: «Alguém quer jogar ‘dots and boxes’ comigo?».
Houve quem aceitasse o desafio e Conway passou horas a jogar no quadro com os participantes e a explicar vários temas sobre esse jogo.
(O texto completo está em "Comentário-1". Em "Comentário-2", refere-se um jogo matemático muito simples mas curioso)
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 11:19
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JOGOS MATEMÁTICOS
QUEM o conheça pode não achar estranho. Mas quando John Horton Conway esteve entre nós, iniciou uma das suas palestras matemáticas de uma forma pouco convencional. Dirigiu-se ao quadro e começou a desenhar uma rede de pontinhos. Depois disse: «alguém quer jogar ‘dots and boxes’ comigo?».
Houve quem aceitasse o desafio e Conway passou horas a jogar no quadro com os participantes e a explicar vários temas sobre esse jogo.
A palestra preencheu uma noite de Setembro, num hotel da Curia onde se encontraram, como habitualmente no fim do Verão, os bolseiros do programa de Novos Talentos em Matemática, da Fundação Gulbenkian. Os jovens estudantes universitários passaram o fim de semana apresentando os seus trabalhos e participando em seminários e palestras dadas por alguns matemáticos consagrados. Mas desta vez tiveram entre eles John Conway. Ele próprio!
John H. Conway não é um excêntrico irresponsável. É um dos profissionais da matemática a quem esta disciplina actualmente mais deve. Nasceu em Liverpool em 1937, foi professor na selecta Universidade de Cambridge e trabalha hoje na igualmente selecta Universidade de Princeton. É aí colega de Andrew Wiles, que demonstrou o Último Teorema de Fermat, de John Nash, galardoado com o Nobel, e de outras celebridades. É autor ou co-autor de vários livros muito respeitados, entre os quais “O Livro dos Números”, recentemente editado entre nós pela Gradiva. Devem-se-lhe resultados matemáticos importantíssimos.
Criou os números surreais, desenvolveu a Teoria de Grupos, obteve resultados surpreendentes em geometria e... fez estudos inovadores sobre jogos matemáticos.
Os jogos matemáticos, assim chamados por serem jogos de informação perfeita onde o acaso não intervém, são jogos como o xadrez ou as damas em que não há jogo escondido nem há dados ou outro instrumento gerador de aleatoriedade que introduza o azar nas jogadas. Tudo está sobre a mesa. São também chamados jogos abstractos, pois podem ser jogados virtualmente, com papel e lápis, ou mesmo de cabeça se os jogadores o conseguirem. Não necessitam pois de instrumentos especiais, ao contrário do bilhar, por exemplo, que necessita de mesa, tacos e bolas.
A sedução dos jogos matemáticos deriva dos mesmos factores que tornam interessante qualquer jogo: a interacção entre os jogadores, a ramificação ou número possível de jogadas, a clareza com que se podem visualizar as manobras e a profundidade ou complexidade das estratégias possíveis. Um jogo com pouca profundidade, como é o caso do chamado «jogo do galo» tem pouco interesse. Neste último, por exemplo, sabe-se que existe uma estratégia não perdedora: qualquer que seja o jogador a começar e qualquer que seja a actuação do adversário, é sempre possível empatar ou ganhar. Mas há jogos muito simples de formular e em que se sabe que existem estratégias ganhadoras, mas em que os cálculos são tão complicados que, na prática, tem de se aliar a intuição ao raciocínio. E há jogos em que é fácil determinar uma estratégia óptima, e têm pois um interesse lúdico relativamente diminuto, mas que são matematicamente muito ricos e interessantes. É o caso dos chamados jogos NIM, os primeiros a serem formalizados matematicamente. Num artigo publicado em 1902, Charles L. Bouton levou o seu estudo ao ponto de determinar as condições de uma estratégia ganhadora. É o famoso Teorema de Bouton.
Outros jogos já clássicos, como o referido «dots and boxes», e ainda alguns de invenção muito recente vão estar agora em foco no Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. É a primeira vez que tal iniciativa tem lugar no nosso país, mas o interesse que recolhe é inegável. A prová-lo, estão os mil participantes inscritos. É de esperar que a final nacional, que tem lugar esta sexta feira 26 de Novembro no Pavilhão do Conhecimento, seja muito concorrida. Quem quiser informar-se sobre o evento, pode consultar a página na Internet em http://ludicum.org. E quem quiser informar-se melhor sobre este tipo de jogos pode usar como referência um novo livro, da autoria de Jorge Nuno Silva e João Pedro Neto, editado há semanas pela Gradiva e intitulado “Jogos Matemáticos — Jogos Abstractos”. Trata-se de um guia e um estudo muito completo sobre estes divertidos jogos. Mas o melhor mesmo, será jogá-los.
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A MATEMÁTICA DO NIM
Há diversas variantes de jogos NIM. Descrevemos a variante clássica e damos um exemplo adaptado do livro de J.N. Silva e J.P. Neto “Jogos Matemáticos — Jogos Abstractos”.
Joga-se com pilhas de peças. Cada jogador, em cada jogada, escolhe uma pilha e retira dela o número de peças que desejar. Ganha o jogador que retirar a última peça.
Com uma única pilha, o primeiro jogador retira todas as peças e ganha numa só jogada, pelo que o jogo é trivial. Com duas pilhas há uma estratégia óptima, que é retirar de uma delas o número de peças necessário para igualar as pilhas e, a partir daí, copiar a jogada do adversário, de forma a deixar sempre iguais as duas pilhas. A certa altura, o adversário terá de terminar completamente uma pilha. Nessa altura, esvazia-se a outra e ganha-se.
Com três ou mais pilhas, a estratégia vencedora é mais difícil e pode ser formalizada introduzindo a soma-NIM, operada sobre a representação dos números em expansão binária (a linguagem de zeros e uns dos computadores). A soma-NIM adiciona um a um os dígitos, mas não procede ao «e vai um...». O clássico Teorema de Bouton assegura que se obtém uma posição vencedora quando se consegue que a soma-NIM do número de peças das pilhas seja zero.
Texto de NUNO CRATO, adaptado do «Expresso»
Um jogo muito simples (para duas pessoas)e que, de certa forma, pode estar "viciado", consiste em várias filas de objectos, por exemplo:
**************
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Cada pessoa escolhe uma fila, e tira dela tantos objectos quantos quiser.
Jogam alternadamente, e quem for obrigado a tirar o último perde.
Em certos casos, é evidente que «quem começa perde».
É o caso muito simples de:
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Ou mesmo:
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Este jogo torna-se interessante quando estão em causa combinações menos óbvias.
Por exemplo:
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Seja qual for a jogada que o primeiro jogador faça, o segundo consegue sempre retirar um número de peças por forma a colocar o adversário perante as hipóteses:
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ou
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