PARA O PROBLEMA que hoje aqui se propõe (de 1934) está previsto o habitual prémio: um livro juvenil para o primeiro leitor que der a resposta certa em termos algébricos.*
NOTA: dá que pensar a forma como, no enunciado de um simples problema de matemática elementar, é referido e tratado o vendedor judeu.
Aliás, já em tempos se referiram, neste blogue, coisas semelhantes, como o inspector Maigret (que se dirige assim a judeus nos "anos 30-40" - e Simenon era um mestre a retratar a realidade) e o abundante recurso a cruzes suásticas como separadores de textos, durante uma dezena de anos, nos Almanaques Bertrand da época.
Actualização: ver comentário-7, das 17h50m
Etiquetas: CMR, Passatempos
Afixado por: Carlos Medina Ribeiro às 14:46
11 Comments:
10 homem e 10 criança ou 2 de senhora, 1 de homem e 17 de criança! ambos dao 20 pares
Embora eu talvez não tenha sido claro, quando digo "resposta em termos algébricos" quero dizer que se pretende uma abordagem ao problema também algébrica, e não apenas a resposta em números.
Ou seja:
A resposta está certa.
Mas, como não foi apresentada a resolução algébrica, fica-se sem se saber se foi obtida por tentativas ou não.
A abordagem do problema em termos algébricos será qualquer coisa como:
S... n.º de pares de meias de sra.
H... n.º de pares de meias de homem
C... n.º de pares de meias de criança
Em seguida, temos 2 equações:
S+H+C=20
10S+3H+C=40
O problema é que há 3 incógnitas para apenas 2 equações, o que corresponde a uma indeterminação.
Como contorná-la, por forma a chegar às duas soluções que apresentou (ou até a mais)?
O universo das incógnitas é No (Números naturais incluíndo o Zero.
(Para facilidade de escrita 9S entenda-se como 9 x S)
Resolvendo a 2ª em ordem a C:
C= 20-H-S
Substituindo na 1ª
10S+3H+20-H-S=40
ou seja
9S+2H=20
Resolvendo em ordem a H e a S, temos:
H=(20-9S)/2
S=(20-2H)/2
e
C= 20-H-S
Para as iterações, vamos-nos centrar em S, pois é a peça mais cara e logo a que menos resultados terá.
Para H ser inteiro, o resultado de 9S terá que ser par, logo S só poderá ser 0, 2, 4
Para S= 0
H= 10 e C= 10
Para S=2
H=1 e C= 17
Para S=4
H=0 e C=0
Ou seja existem 3 resultados possíveis:
0 Meias de senhora
10 Meias de Homem
10 Meias de Criança
2 Meias de Senhora
1 Meia de Homem
17 Meias de Criança
4 Meias de Senhora
0 Meias de Homem
0 Meias de Criança
Como nesses tempos (1934) a dona de casa controlava o dinheira para a casa, o resultado mais provavel, se o caso fosse real, seria o Segundo :)
O leitor Rui Gustavo Crespo enviou-me, por mail, a resolução que adiante se transcreve. Sucede que, nestes passatempos, as soluções devem ser afixadas aqui...
Mas lá vai:
______
Pelo preço tem-se 10S+3H+1C=40. Pela quantidade tem-se S+H+C=20.
Trata-se de um sistema de 2 equações a 3 incógnitas. Há infinitas
soluções, mas o facto das variáveis só poderem ser positivas introduz uma
restrição extra.
Para que as restrições tenham maior efeito, substituo no preço a variável de menor coeficiente (C) pela resultado da outra equação (20-S-H).
Fica 10S+3H+20-S-H=40, ou seja, 9S+2H=20. Uma vez que o coeficiente de S
é impar e o resultado é par, S só pode ter coeficientes pares (0 ou 2).
Para S=0, tem-se H=10. Para S=2, tem-se H=2. S não pode ser maior que 2,
porque H não pode ser negativo.
Resolvendo finalmente a equação do preço tem-se as 2 soluções possíveis:
* S=0,H=10 e C=10.
* S=2,H=2 e C=14
O texto não dá informação suficiente para chegar a uma única solução (por
exemplo, que vendeu meias para todos os membros da família).
Como vende 20 pares, a unica solucao válida é S=0,H=10 e C=10.
1 - Dado que o nº de pares de meias é 20, Luís Bonifácio deu 2 respostas certas (0-10-10 e 2-1-17) e uma errada (4-0-0):
0 Meias de senhora
10 Meias de Homem
10 Meias de Criança
2 Meias de Senhora
1 Meia de Homem
17 Meias de Criança
4 Meias de Senhora
0 Meias de Homem
0 Meias de Criança
--
2 - Rui Gustavo Crespo, por sua vez, não refere a resposta 2-1-17.
Se quiséssemos colocar-nos na pele de quem inventou o problema (e que já não deve ser deste mundo...), o mais certo é que ele pensasse que, das várias respostas, a pretendida era a que fornecesse meias para a família toda.
Pelo menos, costuma ser esse o padrão destes passatempos-mais-ou-menos-matemáticos-de-almanaque...
Assim, o 'artifício' para resolver a indeterminação (penso eu) devia ser a rejeição das respostas com zeros, o que levaria à escolha da resposta que começou por ser dada por Pedro Amorim e que Luís Bonifácio justificou algebricamente:
2 pares de meias de Senhora
1 par de meias de Homem
17 pares de meias de Criança
-
Normalmente, eu costumo afixar aqui uma indicação a dizer: «Na dúvida, tomar-se-á como certa a resolução dada pelo criador do problema». Sucede que essa solução vem no Almanaque de 1935, que ainda não encontrei.
-
Peço, pois, aos 3 amigos que tiveram a pachorra de gastar aqui algum tempo, que enviem morada para sorumbatico@iol.pt
2 pares de meias de senhora
6 pares de meias de homem
2 pares de meias de criança
Se cada par custar 10-Sra; 3-H; 1C a resposta é a que respondi anteriormente. Assim senhora gastará os 40$00 que tem.
Se não forem vendidas a pares e cada meia custar Sra-10; H-3; C-1 a resposta será. 1par de meias de senhora; 3 pares de homem e 1 de criança. Não percebi porque falam em 20 pares.
Luísa Novo diz «Não percebi porque falam em 20 pares».
1-Talvez por estar em letra pequena, não tenha lido, do lado direito, que a senhora diz «compro-te 20 PARES [de meias]».
2-No texto que eu escrevi, pede-se uma resolução algébrica (que explicite as 2 equações necessárias).
3-Como se diz em comentários anteriores, a resposta certa já foi dada. Excluindo a resposta com "zeros", é:
2 pares de m. Senhora (20$)
1 par de m. de Homem (3$)
17 pares de m. de Criança (17$)
O que perfaz 20 pares, num total de 40$, como é dito no problema.
Embora não acrescente nada ao que já foi dito, aqui vai a resolução que eu preparei para mim:
Temos 2 equações:
10S+3H+C=40
S+H+C=20
Podemos, p. ex., eliminar o C subtraindo uma da outra:
9S+2H=20
De onde se conclui que:
H=(20-9S)/2
Como as respostas têm de ser números inteiros e positivos (diferentes de zero porque se supõe que a sra. quer meias para a família toda...), o numerador tem de ser um número par>0
Para isso, 9S tem também de ser um número par e <20. Sendo S um nº inteiro, 9S ó pode ser 18, pelo que
S=2 (2 pares de meias de sra. é a 1ª resposta).
Seguem-se, de imediato, as outras:
H=1 (pela resolução da equação anterior)
e, pela outra equação:
C=20-H-S=20-1-2=17
C=17
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