18.4.08

PARA O PROBLEMA que hoje aqui se propõe (de 1934) está previsto o habitual prémio: um livro juvenil para o primeiro leitor que der a resposta certa em termos algébricos.
*
NOTA: dá que pensar a forma como, no enunciado de um simples problema de matemática elementar, é referido e tratado o vendedor judeu.
Aliás, já em tempos se referiram, neste blogue, coisas semelhantes, como o inspector Maigret (que se dirige assim a judeus nos "anos 30-40" - e Simenon era um mestre a retratar a realidade) e o abundante recurso a cruzes suásticas como separadores de textos, durante uma dezena de anos, nos Almanaques Bertrand da época.
Actualização: ver comentário-7, das 17h50m

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11 Comments:

Blogger Unknown said...

10 homem e 10 criança ou 2 de senhora, 1 de homem e 17 de criança! ambos dao 20 pares

18 de abril de 2008 às 15:53  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Embora eu talvez não tenha sido claro, quando digo "resposta em termos algébricos" quero dizer que se pretende uma abordagem ao problema também algébrica, e não apenas a resposta em números.

Ou seja:

A resposta está certa.

Mas, como não foi apresentada a resolução algébrica, fica-se sem se saber se foi obtida por tentativas ou não.

A abordagem do problema em termos algébricos será qualquer coisa como:

S... n.º de pares de meias de sra.
H... n.º de pares de meias de homem
C... n.º de pares de meias de criança

Em seguida, temos 2 equações:

S+H+C=20
10S+3H+C=40

O problema é que há 3 incógnitas para apenas 2 equações, o que corresponde a uma indeterminação.
Como contorná-la, por forma a chegar às duas soluções que apresentou (ou até a mais)?

18 de abril de 2008 às 16:35  
Blogger Luís Bonifácio said...

O universo das incógnitas é No (Números naturais incluíndo o Zero.
(Para facilidade de escrita 9S entenda-se como 9 x S)
Resolvendo a 2ª em ordem a C:
C= 20-H-S
Substituindo na 1ª

10S+3H+20-H-S=40

ou seja

9S+2H=20

Resolvendo em ordem a H e a S, temos:

H=(20-9S)/2
S=(20-2H)/2

e

C= 20-H-S

Para as iterações, vamos-nos centrar em S, pois é a peça mais cara e logo a que menos resultados terá.

Para H ser inteiro, o resultado de 9S terá que ser par, logo S só poderá ser 0, 2, 4

Para S= 0
H= 10 e C= 10

Para S=2
H=1 e C= 17

Para S=4
H=0 e C=0

18 de abril de 2008 às 16:56  
Blogger Luís Bonifácio said...

Ou seja existem 3 resultados possíveis:

0 Meias de senhora
10 Meias de Homem
10 Meias de Criança

2 Meias de Senhora
1 Meia de Homem
17 Meias de Criança

4 Meias de Senhora
0 Meias de Homem
0 Meias de Criança

Como nesses tempos (1934) a dona de casa controlava o dinheira para a casa, o resultado mais provavel, se o caso fosse real, seria o Segundo :)

18 de abril de 2008 às 16:59  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

O leitor Rui Gustavo Crespo enviou-me, por mail, a resolução que adiante se transcreve. Sucede que, nestes passatempos, as soluções devem ser afixadas aqui...

Mas lá vai:

______


Pelo preço tem-se 10S+3H+1C=40. Pela quantidade tem-se S+H+C=20.

Trata-se de um sistema de 2 equações a 3 incógnitas. Há infinitas
soluções, mas o facto das variáveis só poderem ser positivas introduz uma
restrição extra.

Para que as restrições tenham maior efeito, substituo no preço a variável de menor coeficiente (C) pela resultado da outra equação (20-S-H).
Fica 10S+3H+20-S-H=40, ou seja, 9S+2H=20. Uma vez que o coeficiente de S
é impar e o resultado é par, S só pode ter coeficientes pares (0 ou 2).
Para S=0, tem-se H=10. Para S=2, tem-se H=2. S não pode ser maior que 2,
porque H não pode ser negativo.

Resolvendo finalmente a equação do preço tem-se as 2 soluções possíveis:
* S=0,H=10 e C=10.
* S=2,H=2 e C=14

O texto não dá informação suficiente para chegar a uma única solução (por
exemplo, que vendeu meias para todos os membros da família).

Como vende 20 pares, a unica solucao válida é S=0,H=10 e C=10.

18 de abril de 2008 às 17:09  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

1 - Dado que o nº de pares de meias é 20, Luís Bonifácio deu 2 respostas certas (0-10-10 e 2-1-17) e uma errada (4-0-0):


0 Meias de senhora
10 Meias de Homem
10 Meias de Criança

2 Meias de Senhora
1 Meia de Homem
17 Meias de Criança

4 Meias de Senhora
0 Meias de Homem
0 Meias de Criança

--

2 - Rui Gustavo Crespo, por sua vez, não refere a resposta 2-1-17.

18 de abril de 2008 às 17:18  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Se quiséssemos colocar-nos na pele de quem inventou o problema (e que já não deve ser deste mundo...), o mais certo é que ele pensasse que, das várias respostas, a pretendida era a que fornecesse meias para a família toda.
Pelo menos, costuma ser esse o padrão destes passatempos-mais-ou-menos-matemáticos-de-almanaque...

Assim, o 'artifício' para resolver a indeterminação (penso eu) devia ser a rejeição das respostas com zeros, o que levaria à escolha da resposta que começou por ser dada por Pedro Amorim e que Luís Bonifácio justificou algebricamente:

2 pares de meias de Senhora
1 par de meias de Homem
17 pares de meias de Criança


-

Normalmente, eu costumo afixar aqui uma indicação a dizer: «Na dúvida, tomar-se-á como certa a resolução dada pelo criador do problema». Sucede que essa solução vem no Almanaque de 1935, que ainda não encontrei.

-

Peço, pois, aos 3 amigos que tiveram a pachorra de gastar aqui algum tempo, que enviem morada para sorumbatico@iol.pt

18 de abril de 2008 às 17:50  
Blogger Luísa Novo said...

2 pares de meias de senhora
6 pares de meias de homem
2 pares de meias de criança

19 de abril de 2008 às 00:21  
Blogger Luísa Novo said...

Se cada par custar 10-Sra; 3-H; 1C a resposta é a que respondi anteriormente. Assim senhora gastará os 40$00 que tem.
Se não forem vendidas a pares e cada meia custar Sra-10; H-3; C-1 a resposta será. 1par de meias de senhora; 3 pares de homem e 1 de criança. Não percebi porque falam em 20 pares.

19 de abril de 2008 às 00:30  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Luísa Novo diz «Não percebi porque falam em 20 pares».

1-Talvez por estar em letra pequena, não tenha lido, do lado direito, que a senhora diz «compro-te 20 PARES [de meias]».

2-No texto que eu escrevi, pede-se uma resolução algébrica (que explicite as 2 equações necessárias).

3-Como se diz em comentários anteriores, a resposta certa já foi dada. Excluindo a resposta com "zeros", é:

2 pares de m. Senhora (20$)
1 par de m. de Homem (3$)
17 pares de m. de Criança (17$)

O que perfaz 20 pares, num total de 40$
, como é dito no problema.

19 de abril de 2008 às 12:09  
Blogger Carlos Medina Ribeiro said...

Embora não acrescente nada ao que já foi dito, aqui vai a resolução que eu preparei para mim:

Temos 2 equações:

10S+3H+C=40
S+H+C=20

Podemos, p. ex., eliminar o C subtraindo uma da outra:

9S+2H=20

De onde se conclui que:

H=(20-9S)/2

Como as respostas têm de ser números inteiros e positivos (diferentes de zero porque se supõe que a sra. quer meias para a família toda...), o numerador tem de ser um número par>0

Para isso, 9S tem também de ser um número par e <20. Sendo S um nº inteiro, 9S ó pode ser 18, pelo que

S=2 (2 pares de meias de sra. é a 1ª resposta).

Seguem-se, de imediato, as outras:

H=1 (pela resolução da equação anterior)

e, pela outra equação:

C=20-H-S=20-1-2=17

C=17

19 de abril de 2008 às 12:41  

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